Questão 6. Resolva a integral integralC cosh (z) d z onde C é uma curva simples que inicia no ponto zi=pi i e termina no ponto final zf=2 pi i.
Observação: senh(z)=e^z-e^-z2 e cosh (z)=e^z+e^-z2 e

Passo 1

Nesse exercício, precisamos calcular a integral integralCcosh(z),dz ao longo de uma curva simples que conecta o ponto inicial zi=pi i ao ponto final zf=2pi i. O conteúdo aqui é integração de funções analíticas no plano complexo e vamos precisar do Teorema Fundamental do Cálculo em Cálculo Complexo, que indica que toda função holomorfa tem antiderivada e a integral entre dois pontos independe do caminho.

Passo 2

A antiderivada de cosh(z) é sinh(z), pois diferenciando sinh(z) obtemos cosh(z). Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos:
integralCcosh(z),dz = sinh(z) |z=pi i^z=2pi i = sinh(2pi i) - sinh(pi i)

Passo 3

Para calcular sinh(2pi i) e sinh(pi i), usamos a definição sinh(z)=tfrace^z-e^-z2 ou a identidade sinh(itheta)=isin(theta). Assim:
sinh(2pi i)=isin(2pi)=0, sinh(pi i)=isin(pi)=0
Logo a integral vale 0-0=0.

Resposta

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