Questão 6. Resolva a integral onde é uma curva simples que inicia no ponto e termina no ponto final .
Observação:
Passo 1
Nesse exercício, precisamos calcular a integral ao longo de uma curva simples que conecta o ponto inicial ao ponto final . O conteúdo aqui é integração de funções analíticas no plano complexo e vamos precisar do Teorema Fundamental do Cálculo em Cálculo Complexo, que indica que toda função holomorfa tem antiderivada e a integral entre dois pontos independe do caminho.
Passo 2
A antiderivada de é , pois diferenciando obtemos . Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos:
Passo 3
Para calcular sinh(2pi i) e sinh(pi i), usamos a definição sinh(z)=tfrace^z-e^-z2 ou a identidade sinh(itheta)=isin(theta). Assim:
sinh(2pi i)=isin(2pi)=0, sinh(pi i)=isin(pi)=0
Logo a integral vale 0-0=0.