Determine os pontos máximos e mínimos da seguinte função.
f(x)=18 x^2-x^4

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar os pontos máximos e mínimos da função f(x)=18x^2 - x^4. O conteúdo que vamos usar é cálculo de derivadas e o teste da segunda derivada pra classificar extremos.

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada e achar os pontos críticos. A primeira derivada é
f'(x) = ddx(18x^2 - x^4) = 36x - 4x^3 = 4x(9 - x^2)
Para encontrar pontos críticos, igualamos f'(x)=0, o que dá
4x(9 - x^2) = 0 implies x=0 ou x^2=9 implies x=pm3

Passo 3

Precisamos agora do teste da segunda derivada. Calculamos
f''(x) = ddx(36x - 4x^3) = 36 - 12x^2
A teoria diz que se f''(xc)>0 é mínimo local e se f''(xc)<0 é máximo local.

Passo 4

Vamos avaliar f'' em cada ponto crítico:
  • Em x=0: f''(0)=36 - 12cdot0^2 = 36 > 0, então em x=0 temos mínimo local.
  • Em x=3 ou x=-3: f''(pm3)=36 - 12cdot9 = 36 - 108 = -72 < 0, então em x=pm3 temos máximos locais.

Passo 5

Pra completar, vamos calcular os valores da função nesses pontos:
  • f(0)=18cdot0^2 - 0^4 = 0.
  • f(3)=18cdot3^2 - 3^4 = 18cdot9 - 81 = 162 - 81 = 81.
  • f(-3)=18cdot(-3)^2 - (-3)^4 = 18cdot9 - 81 = 81.

Resposta

Máximos locais em (-3,81) e (3,81); mínimo local em (0,0).

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