Determine os pontos máximos e mínimos da seguinte função.
f(x)=x^4-32 x

Passo 1

A questão pede para determinar os pontos máximos e mínimos da função f(x)=x^4–32x. Vamos usar derivadas para achar os pontos críticos e depois classificar cada um com o teste da segunda derivada.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada da função. Essa etapa usa a regra de potência, que diz que d(x^n)/dx = n·x^{n–1}:
f'(x)=4x^3-32

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, igualamos f’(x) a zero e resolvemos para x:
4x^3-32=0
x^3=8
x=2

Passo 4

Agora aplicamos o teste da segunda derivada. Primeiro calculamos f’’(x) aplicando novamente a regra de potência:
f''(x)=12x^2
O teste diz que se f’’(x_0)>0 temos mínimo local, e se f’’(x_0)<0 temos máximo local.

Passo 5

Avaliamos f’’ no ponto crítico x=2:
f''(2)=12·2^2=48>0,
o que garante que em x=2 há um mínimo local. Calculamos também o valor da função:
f(2)=2^4-32·2=16-64=-48

Passo 6

Concluímos que a função não possui pontos de máximo (pois o polinômio de grau 4 com coeficiente líder positivo tende a +∞ nas extremidades) e tem apenas um ponto de mínimo em x=2, com valor f(2)=-48.

Resposta

A função tem um único ponto de mínimo em (2, -48) e não possui ponto de máximo.

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