Determine os pontos máximos e mínimos da seguinte função.
Passo 1
A questão pede para determinar os pontos máximos e mínimos da função f(x)=x^4–32x. Vamos usar derivadas para achar os pontos críticos e depois classificar cada um com o teste da segunda derivada.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada da função. Essa etapa usa a regra de potência, que diz que d(x^n)/dx = n·x^{n–1}:
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos, igualamos f’(x) a zero e resolvemos para x:
Passo 4
Agora aplicamos o teste da segunda derivada. Primeiro calculamos f’’(x) aplicando novamente a regra de potência:
O teste diz que se f’’(x_0)>0 temos mínimo local, e se f’’(x_0)<0 temos máximo local.
Passo 5
Avaliamos f’’ no ponto crítico x=2:
o que garante que em x=2 há um mínimo local. Calculamos também o valor da função:
Passo 6
Concluímos que a função não possui pontos de máximo (pois o polinômio de grau 4 com coeficiente líder positivo tende a +∞ nas extremidades) e tem apenas um ponto de mínimo em x=2, com valor f(2)=-48.
Resposta
A função tem um único ponto de mínimo em (2, -48) e não possui ponto de máximo.