integral 7 e^x5+3 e^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de 7 e^x5 + 3 e^2x em relação a x. Isso entra na área de cálculo integral, mais especificamente em integração por substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que possa ser simplificada usando substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador: 5 + 3 e^2x. Note que a derivada de e^2x em relação a x é 2 e^2x, que está relacionada com o numerador 7 e^x. Isso sugere que podemos fazer uma substituição para simplificar a integral.

Passo 3

Vamos definir uma nova variável u para simplificar:
u = 5 + 3 e^2x
Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x:
dudx = 6 e^2x
Isso significa que:
du = 6 e^2x dx
Agora, queremos expressar e^x dx em termos de du. Observe que e^2x = (e^x)^2, então podemos reescrever du como:
du = 6 e^x cdot e^x dx
du = 6 e^x cdot e^x dx
Para isolar e^x dx, dividimos ambos os lados por 6 e^x:
du6 e^x = e^x dx

Passo 4

Voltando à nossa integral original:
integral 7 e^x5 + 3 e^2x dx
Substituindo u e a expressão para e^x dx:
integral 7 e^xu cdot du6 e^x
O e^x no numerador e denominador cancelam:
integral 76 cdot 1u du
76 integral 1u du

Passo 5

A integral de 1u du é o logaritmo natural de u:
76 ln|u| + C
Agora, substituímos u de volta pela expressão original:
76 ln|5 + 3 e^2x| + C

Resposta

A integral de 7 e^x5 + 3 e^2x dx é:
76 ln|5 + 3 e^2x| + C

Exercícios relacionados