Vamos denotar a derivada de uma função y=f(x) por f^prime(x)=d yd x. Esta última notação é chamada de notação de Leibniz para a deriva. Sabendo disto, calcule:
Utilizando a fórmula obtida no item anterior, calcule cada uma das derivadas das funções a seguir.
i. y=(x^2+3 x)^2
ii. y=cos x
iii. y=x^3-3 x3 x-1

Passo 1

A gente precisa calcular as derivadas de: i) (x^2+3x)^2, ii) cos x e iii) x^3-3x3x-1. Para isso, vamos usar a regra da cadeia (para a função ao quadrado), a derivada de cosseno e a regra do quociente.

Passo 2

Para i), aplicamos a regra da cadeia. Definimos u = x^2 + 3x, então y = u^2. Sabemos que dydu = 2u e dudx = 2x+3. Logo:
y' = dydx = dyducdotdudx = 2(x^2+3x),(2x+3)

Passo 3

Para ii), lembramos que ddxcos x = -sin x. Então:
y' = -sin x

Passo 4

Para iii), usamos a regra do quociente. Seja v = x^3 - 3x e w = 3x - 1. Então v' = 3x^2 - 3 e w' = 3. A regra diz:
y' = v' w - v w'w^2 Substituindo:
y' = (3x^2-3)(3x-1) - (x^3 - 3x)cdot 3(3x-1)^2 Expandindo e simplificando o numerador:
9x^3 -3x^2 -9x +3 -3x^3 +9x = 6x^3 -3x^2 +3, resultando em
y' = 6x^3 -3x^2 +3(3x-1)^2 = 3(2x^3 - x^2 + 1)(3x-1)^2

Resposta

i) 2(x^2+3x)(2x+3) ii) -sin x iii) 3(2x^3 - x^2 + 1)(3x-1)^2

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