Encontre as equações das retas tangentes ao gráfico das funções nos pontos indicados e faça um esboço em cada caso.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações das retas tangentes ao gráfico da função $ h(x) = (x-1)^3 $ no ponto onde $ x = 0 $. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o valor de $ h(0) $. Isso significa substituir $ x $ por 0 na função $ h(x) $:
Então, o ponto onde vamos encontrar a reta tangente é $ (0, -1) $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de $ h(x) $ para determinar a inclinação da reta tangente nesse ponto. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação da função em relação a $ x $, ou seja, a inclinação da reta tangente.
A função é:
Usando a regra da potência para derivadas, temos:
Passo 4
Vamos calcular a derivada no ponto $ x = 0 $:
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é 3.
Passo 5
Com a inclinação $ m = 3 $ e o ponto $ (0, -1) $, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação da reta tangente ao gráfico de $ h(x) = (x-1)^3 $ no ponto $ x = 0 $ é: