Determine os pontos de máximos, mínimos e de sela da função dada.
Passo 1
O exercício pede para encontrar e classificar os pontos de máximo, mínimo e de sela da função f(x,y)=(x²−y²)e^{−x}. O conteúdo aqui é cálculo de funções de duas variáveis: vamos precisar achar os pontos críticos impondo ∇f=0 e depois usar a Hessiana para classificar cada ponto.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de f e montar o sistema ∇f=0. Primeiro:
Passo 3
Como e^{-x}>0 nunca anula, o sistema ∇f=0 vira
Passo 4
Resolver o sistema com y=0 em -x2+2x+y2=0:
Daqui vêm x=0 ou x=2. Portanto, os pontos críticos são (0,0) e (2,0).
Passo 5
Calcular as derivadas segundas para formar a Hessiana:
Passo 6
Avaliar a Hessiana em cada ponto e usar D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2: Para (0,0): e^{0}=1,
Logo (0,0) é ponto de sela.
Passo 7
Para (2,0): e^{-2},
Aqui f_{xx}<0, então (2,0) é máximo local.
Resposta
Ponto de sela em (0,0); máximo local em (2,0); não há mínimo local.