Determine os pontos de máximos, mínimos e de sela da função dada.
f(x, y)=(x^2-y^2) e^-x

Passo 1

O exercício pede para encontrar e classificar os pontos de máximo, mínimo e de sela da função f(x,y)=(x²−y²)e^{−x}. O conteúdo aqui é cálculo de funções de duas variáveis: vamos precisar achar os pontos críticos impondo ∇f=0 e depois usar a Hessiana para classificar cada ponto.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f e montar o sistema ∇f=0. Primeiro:
fx=∂∂xl((x^2-y^2)e^-xr) =e^-x(2x)-e^-x(x^2-y^2) =e^-xl(-x^2+2x+y^2r),
fy=∂∂yl((x^2-y^2)e^-xr) =-2y,e^-x

Passo 3

Como e^{-x}>0 nunca anula, o sistema ∇f=0 vira
-x^2+2x+y^2=0,
-2y=0implies y=0

Passo 4

Resolver o sistema com y=0 em -x2+2x+y2=0:
-x^2+2x+0=0
x(2-x)=0
Daqui vêm x=0 ou x=2. Portanto, os pontos críticos são (0,0) e (2,0).

Passo 5

Calcular as derivadas segundas para formar a Hessiana:
fxx=∂∂xl(e^-x(-x^2+2x+y^2)r) =e^-x(x^2-4x+2-y^2),
fxy=∂∂yl(e^-x(-x^2+2x+y^2)r) =2y,e^-x,
fyy=∂∂y(-2y,e^-x) =-2,e^-x

Passo 6

Avaliar a Hessiana em cada ponto e usar D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2: Para (0,0): e^{0}=1,
fxx=2, fyy=-2, fxy=0
D=(2)(-2)-0=-4<0
Logo (0,0) é ponto de sela.

Passo 7

Para (2,0): e^{-2},
fxx=-2e^-2, fyy=-2e^-2, fxy=0
D=(-2e^-2)(-2e^-2)=4e^-4>0
Aqui f_{xx}<0, então (2,0) é máximo local.

Resposta

Ponto de sela em (0,0); máximo local em (2,0); não há mínimo local.

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