Usando o ramo principal do logaritmo (de modo que -pi), calcule os números complexos
z1=log (-1+raiz3 i) e z2=log ((-1+raiz3 i)^3)
e verifique se z2=3 z1 ou não.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular dois logaritmos de números complexos usando o ramo principal do logaritmo (onde -pi < theta <= pi). Vamos precisar usar conceitos de números complexos, forma polar e propriedades dos logaritmos. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o número complexo $ -1 + \sqrt{3}i $. Para calcular o logaritmo de um número complexo, é mais fácil trabalhar na forma polar, que é $ z = r(\cos \theta + i \sin \theta) $, onde $ r $ é o módulo e $ \theta $ é o argumento.

Passo 3

Vamos calcular o módulo $ r $ de $ -1 + \sqrt{3}i $:
r

Passo 4

Agora, vamos encontrar o argumento $ \theta $. O argumento é o ângulo que o número complexo forma com o eixo real positivo. Como $ -1 + \sqrt{3}i $ está no segundo quadrante (parte negativa do eixo real e positiva no imaginário), temos:
theta
Então, a forma polar de $ -1 + \sqrt{3}i $ é:
-1 + raiz3i

Passo 5

Agora, vamos calcular $ z_1 = \log(-1 + \sqrt{3}i) $. A fórmula do logaritmo de um número complexo na forma polar é:
z1 = log(-1 + raiz3i)
Aplicando isso:
log(z) = ln(r) + itheta

Passo 6

Vamos agora calcular $ z_2 = \log\left((-1 + \sqrt{3}i)^3\right) $. Primeiro, vamos elevar o número complexo à terceira potência. Usando a forma polar:
z2 = log((-1 + raiz3i)^3)
Simplificando:
(-1 + raiz3i)^3 = [2(cos(2pi3) + isin(2pi3))]^3 = 2^3 (cos(3 times 2pi3) + isin(3 times 2pi3))

Passo 7

Agora, vamos calcular o logaritmo de 8:
z2 = log(8) = ln(8) + i cdot 0 = ln(8)
Sabemos que $ 8 = 2^3 $, então:
8 = 2^3
Portanto:
ln(8) = ln(2^3) = 3ln(2)

Passo 8

Agora, vamos verificar se $ z_2 = 3z_1 $:
z2 = 3z1
Comparando com $ z_2 = 3\ln(2) $, vemos que:
3z1 = 3(ln(2) + i2pi3) = 3ln(2) + i2pi
Porque $ z_2 $ não tem a parte imaginária $ i2\pi $.

Resposta

Os números complexos calculados são:
z1 = ln(2) + i2pi3
z2 = 3ln(2)
E, de fato, $ z_{2} \neq 3z_{1} $.

Exercícios relacionados