Usando o ramo principal do logaritmo (de modo que
), calcule os números complexos
e verifique se
ou não.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular dois logaritmos de números complexos usando o ramo principal do logaritmo (onde
). Vamos precisar usar conceitos de números complexos, forma polar e propriedades dos logaritmos. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o número complexo $ -1 + \sqrt{3}i $. Para calcular o logaritmo de um número complexo, é mais fácil trabalhar na forma polar, que é $ z = r(\cos \theta + i \sin \theta) $, onde $ r $ é o módulo e $ \theta $ é o argumento.
Passo 3
Vamos calcular o módulo $ r $ de $ -1 + \sqrt{3}i $:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o argumento $ \theta $. O argumento é o ângulo que o número complexo forma com o eixo real positivo. Como $ -1 + \sqrt{3}i $ está no segundo quadrante (parte negativa do eixo real e positiva no imaginário), temos:
Então, a forma polar de $ -1 + \sqrt{3}i $ é:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ z_1 = \log(-1 + \sqrt{3}i) $. A fórmula do logaritmo de um número complexo na forma polar é:
Aplicando isso:
Passo 6
Vamos agora calcular $ z_2 = \log\left((-1 + \sqrt{3}i)^3\right) $. Primeiro, vamos elevar o número complexo à terceira potência. Usando a forma polar:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos calcular o logaritmo de 8:
Sabemos que $ 8 = 2^3 $, então:
Portanto:
Passo 8
Agora, vamos verificar se $ z_2 = 3z_1 $:
Comparando com $ z_2 = 3\ln(2) $, vemos que:
Porque $ z_2 $ não tem a parte imaginária $ i2\pi $.
Resposta
Os números complexos calculados são:
E, de fato, $ z_{2} \neq 3z_{1} $.