Resolva as equações de Ricatti abaixo sabendo que y(x) é solução:
y^prime=-x^-2-x^-1 y+y^2, y(x)=x^-1.

Passo 1

Estamos diante de uma equação de Riccati
y' = -x^-2 - x^-1y + y^2
que já tem uma solução particular conhecida: y1(x)=1/x. O conteúdo aqui é a redução de ordem em Riccati: faremos a substituição y=y1+1/u para transformar em uma ODE linear para u(x).

Passo 2

Começamos definindo y = 1x + 1u. Então
y' = y1' - u'u^2
Como y1 satisfaz
y1' = -x^-2 - x^-1y1 + y1^2,
ao precisamos repetir todos os termos. Substituindo em y' = -x^-2 - x^-1y + y^2 e cancelando y1', obtemos a ODE linear para u:
u' + 1x,u = -1

Passo 3

Para resolver
u' + 1x,u = -1,
usamos o fator integrante
mu(x)=e^integral1/x,dx=x.
Multiplicando a equação por x
(xu)' = -x
e integrando:
xu = -x^22 + C Rightarrow u = Cx - x2

Passo 4

Voltando a y = tfrac1x + tfrac1u, temos
1u = 1tfracCx-tfracx2 = 2x2C - x^2
Logo
y(x) = 1x + 2x2C - x^2 = 2C + x^2x,(2C - x^2)

Resposta

y(x)=2C + x^2x,(2C - x^2), onde C é constante arbitrária.

Exercícios relacionados