Determine os pontos (x0, y0) para os quais podemos garantir que o problema de valor inicial,
y^prime(x)=f(x, y(x)), y(x0)=y0
tem uma solução.
f(x, y)=y^2x^2+y^2.

Passo 1

Estamos olhando para um EDO de primeira ordem no formato y′(x)=f(x,y), com condição inicial y(x₀)=y₀. O conteúdo é o Teorema de Existência (e Unicidade) de Picard–Lindelöf, que pede f contínua (e localmente Lipschitz em y) numa vizinhança do ponto inicial.

Passo 2

Precisamos examinar onde f(x,y)=\frac{y²}{x²+y²} está bem definida e contínua. O único problema acontece quando o denominador se anula, ou seja, quando x²+y²=0.

Passo 3

A única solução de x²+y²=0 no plano é x=0 e y=0 simultaneamente. Fora desse ponto, x²+y²>0, e f é uma função racional contínua (e até diferenciável) em x e y.

Passo 4

Concluímos que sempre podemos aplicar o Teorema de Picard para garantir existência (e unicidade) de solução sempre que (x₀,y₀) não for o ponto (0,0). Portanto, todos os pontos iniciais satisfazendo x₀²+y₀²≠0 garantem que o PVI tenha solução.

Resposta

Os pontos iniciais (x₀,y₀) com x₀²+y₀²≠0 (ou seja, qualquer ponto diferente da origem).

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