Resolva as seguintes e.d.o de segunda a ordem através de uma substituição que permita reduzir a ordem da equação:
x^2 y^prime prime+2 x y^prime=1, x>0,

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem x^2y''+2xy'=1 para x>0, usando uma substituição que reduza a ordem. O conteúdo é uma equação de Euler–Cauchy não homogênea, e vamos precisar transformar em uma equação de primeira ordem via u=y'.

Passo 2

Definimos u(x)=y'(x). Então u'(x)=y''(x). Substituindo na equação original:
x^2u'+2xu=1
Dividindo por x^2 (pois x>0):
u'+2xu=1x^2

Passo 3

Essa é uma equação linear de primeira ordem em u. O fator integrante é
mu(x)=expl(integral2x,dxr)=exp(2ln x)=x^2

Passo 4

Multiplicando toda a equação por mu(x)=x^2 obtemos
x^2u'+2xx^2u=(x^2u)'=x^2*1x^2Rightarrow (x^2u)'=1

Passo 5

Integrando em relação a x:
x^2u=integral1,dx=x+C1
Logo
u=y'=x+C1x^2=1x+C1x^-2

Passo 6

Agora basta integrar para achar y(x):
y(x)=integrall(1x+C1x^-2r)dx=ln x -C1x^-1+C2
Renomeando as constantes (por exemplo, -C1)=A e C2=B), chegamos à solução geral.

Resposta

y(x)=\ln x+\frac{A}{x}+B, onde A e B são constantes arbitrárias.

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