Resolva as seguintes e.d.o de segunda a ordem através de uma substituição que permita reduzir a ordem da equação:
,
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem
para
, usando uma substituição que reduza a ordem. O conteúdo é uma equação de Euler–Cauchy não homogênea, e vamos precisar transformar em uma equação de primeira ordem via
.
Passo 2
Definimos
. Então
. Substituindo na equação original:
Dividindo por
(pois
):
Passo 3
Essa é uma equação linear de primeira ordem em
. O fator integrante é
Passo 4
Multiplicando toda a equação por
obtemos
Passo 5
Integrando em relação a
:
Logo
Passo 6
Agora basta integrar para achar
:
Renomeando as constantes (por exemplo,
e
), chegamos à solução geral.
Resposta
y(x)=\ln x+\frac{A}{x}+B, onde A e B são constantes arbitrárias.