Determine os pontos (x0, y0) para os quais podemos garantir que o problema de valor inicial,
y^prime(x)=f(x, y(x)), y(x0)=y0
tem uma solução.
f(x, y)=2 x yy-x^2,

Passo 1

O enunciado pede para garantir existência de solução para o problema de valor inicial
y′(x)=f(x,y(x)), y(x₀)=y₀
com f(x,y)=\frac{2x y}{y−x²}. O conteúdo é o Teorema de Existência de Picard–Lindelöf, que diz que se f for contínua numa vizinhança de (x₀,y₀), então existe solução local ao redor de x₀.

Passo 2

Precisamos achar o conjunto de pontos (x,y) em que f seja contínua. Observe que
f(x,y)=\frac{2xy}{y−x²}
é bem definida e contínua sempre que o denominador não for zero, ou seja, quando
y−x²neq0²

Passo 3

Concluímos que sempre que y₀−x₀²≠0 podemos encontrar um retângulo centrado em (x₀,y₀) onde f é contínua, e assim pelo Teorema de Picard–Lindelöf existe solução local para o PVI.

Passo 4

Como bônus, a derivada parcial ∂f/∂y também é contínua em y≠x², garantindo unicidade, mas a existência já vinha só da continuidade de f.

Resposta

O PVI tem solução local sempre que y₀≠x₀².

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