Identifique (nome, centro e eixo) para cada uma seguintes equações do plano a natureza dos gráficos, completando quadrados.
.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede que se identifique:
- o nome do gráfico (qual é a cônica);
- o centro;
- o(s) eixo(s) (orientação dos eixos principais).
As informações relevantes que temos são os coeficientes dos termos quadráticos e lineares: os coeficientes dee são e , respectivamente, e os termos lineares são e . Não há termo em .
Passo 2
Interpretação preliminar (sem cálculos finais ainda): a ausência do termo em
indica que os eixos principais da cônica estão alinhados com os eixos coordenados (ou seja, não há rotação). O fato de os coeficientes de
e
terem sinais opostas (um positivo e outro negativo) sugere que a cônica será uma hipérbole. Agora vamos transformar a equação, completando quadrados, para obter a forma padrão e ler o centro e os eixos com precisão.
Passo 3
Agrupando os termos em
e em
e deixando o termo constante à direita:
Factorizando os coeficientes nos grupos:
Passo 4
Agora completamos o quadrado em cada grupo. Lembre a técnica: para
adiciona-se e subtrai-se
dentro do parêntese para formar
.
Para
:
, então
Para
:
, então
Substituindo esses resultados na equação:
Passo 5
Desenvolvendo os parênteses e somando constantes do lado esquerdo:
Combine os termos constantes
, então
Passe o
para o outro lado:
Passo 6
Coloque na forma padrão dividindo ambos os lados por
:
Simplificando as frações
e
, obtemos a forma canônica:
Passo 7
Interpretação da forma canônica. A forma geral de uma hipérbole com eixos alinhados é uma destas:
No nosso caso temos a primeira forma com
Explicação:
é o centro porque é a translação que aparece nos termos
e
. Os valores
e
aparecem diretamente no denominador da forma canônica;
e
são as “semi-ordens” que determinam localização dos vértices e a inclinação das assíntotas.
Passo 8
Centro e orientação dos eixos. Do resultado:
- O centro é
. - Como o termo positivo é o do quadrado em
, a hipérbole tem o eixo transverso horizontal (isto é, paralelo ao eixo ). Em termos de retas: - eixo transverso (direção principal da hipérbole): reta
(reta horizontal que passa pelo centro). - eixo conjugado: reta
(reta vertical que passa pelo centro).
- eixo transverso (direção principal da hipérbole): reta
Passo 9
Vértices, focos e assíntotas (com fórmulas e interpretação).
-
e . - Vértices: estão a uma distância
do centro ao longo do eixo transverso (horizontal), então Explicação: para a forma os vértices são . - Focos: para hipérbole horizontal usa-se
. Aqui Assim os focos são Explicação: os focos ficam no mesmo eixo que os vértices, a uma distância do centro. - Assíntotas: as assíntotas de uma hipérbole nessa forma são
Substituindo nossos valores:
Passo 10
Resumo do que foi encontrado (aqui só resumo parcial; a resposta final consolidada está na seção abaixo):
- a equação foi reduzida à forma
; - centro
; - hipérbole com eixo transverso horizontal (reta
) e eixo conjugado vertical (reta ); -
, , vértices , focos , assíntotas .
Resposta
Hipérbole.\nCentro:
.\nEixo transverso: reta
(horizontal); eixo conjugado: reta
(vertical).