Identifique (nome, centro e eixo) para cada uma seguintes equações do plano a natureza dos gráficos, completando quadrados.
16 x^{2}-3 y^{2}-32 x-12 y-44=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação
16x^{2}-3y^{2}-32x-12y-44=0
e pede que se identifique:
  • o nome do gráfico (qual é a cônica);
  • o centro;
  • o(s) eixo(s) (orientação dos eixos principais).
    As informações relevantes que temos são os coeficientes dos termos quadráticos e lineares: os coeficientes de x^{2} e y^{2} são 16 e -3, respectivamente, e os termos lineares são -32x e -12y. Não há termo em xy.

Passo 2

Interpretação preliminar (sem cálculos finais ainda): a ausência do termo em xy indica que os eixos principais da cônica estão alinhados com os eixos coordenados (ou seja, não há rotação). O fato de os coeficientes de x^{2} e y^{2} terem sinais opostas (um positivo e outro negativo) sugere que a cônica será uma hipérbole. Agora vamos transformar a equação, completando quadrados, para obter a forma padrão e ler o centro e os eixos com precisão.

Passo 3

Agrupando os termos em x e em y e deixando o termo constante à direita:
16x^{2}-32x \;-\; 3y^{2}-12y \;=\; 44.
Factorizando os coeficientes nos grupos:
16\bigl(x^{2}-2x\bigr)\;-\;3\bigl(y^{2}+4y\bigr)\;=\;44.

Passo 4

Agora completamos o quadrado em cada grupo. Lembre a técnica: para x^{2}+bx adiciona-se e subtrai-se \left(\dfrac{b}{2}\right)^{2} dentro do parêntese para formar (x+\dfrac{b}{2})^{2}.
Para x^{2}-2x: \left(\dfrac{-2}{2}\right)^{2}=1, então
x^{2}-2x = (x-1)^{2}-1.
Para y^{2}+4y: \left(\dfrac{4}{2}\right)^{2}=4, então
y^{2}+4y = (y+2)^{2}-4.
Substituindo esses resultados na equação:
16\bigl((x-1)^{2}-1\bigr) -3\bigl((y+2)^{2}-4\bigr) = 44.

Passo 5

Desenvolvendo os parênteses e somando constantes do lado esquerdo:
16(x-1)^{2} -16 \;-\;3(y+2)^{2} +12 \;=\;44.
Combine os termos constantes -16+12=-4, então
16(x-1)^{2} -3(y+2)^{2} -4 = 44.
Passe o -4 para o outro lado:
16(x-1)^{2} -3(y+2)^{2} = 48.

Passo 6

Coloque na forma padrão dividindo ambos os lados por 48:
\frac{16(x-1)^{2}}{48} \;-\; \frac{3(y+2)^{2}}{48} \;=\;1.
Simplificando as frações \dfrac{16}{48}=\dfrac{1}{3} e \dfrac{3}{48}=\dfrac{1}{16}, obtemos a forma canônica:
\frac{(x-1)^{2}}{3} \;-\; \frac{(y+2)^{2}}{16} \;=\;1.

Passo 7

Interpretação da forma canônica. A forma geral de uma hipérbole com eixos alinhados é uma destas:
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}} - \frac{(y-k)^{2}}{b^{2}} = 1 \qquad\text{ou}\qquad \frac{(y-k)^{2}}{b^{2}} - \frac{(x-h)^{2}}{a^{2}} = 1.
No nosso caso temos a primeira forma com
h=1,\quad k=-2,\quad a^{2}=3,\quad b^{2}=16.
Explicação: (h,k) é o centro porque é a translação que aparece nos termos (x-h) e (y-k). Os valores a^{2} e b^{2} aparecem diretamente no denominador da forma canônica; a e b são as “semi-ordens” que determinam localização dos vértices e a inclinação das assíntotas.

Passo 8

Centro e orientação dos eixos. Do resultado:
  • O centro é \bigl(h,k\bigr)=\bigl(1,-2\bigr).
  • Como o termo positivo é o do quadrado em (x-1)^{2}, a hipérbole tem o eixo transverso horizontal (isto é, paralelo ao eixo x). Em termos de retas:
    • eixo transverso (direção principal da hipérbole): reta \;y = -2\; (reta horizontal que passa pelo centro).
    • eixo conjugado: reta \;x = 1\; (reta vertical que passa pelo centro).

Passo 9

Vértices, focos e assíntotas (com fórmulas e interpretação).
  • a=\sqrt{3} e b=4.
  • Vértices: estão a uma distância a do centro ao longo do eixo transverso (horizontal), então \text{vértices: }\bigl(1\pm\sqrt{3},\,-2\bigr).éExplicação: para a forma \dfrac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1 os vértices são (h\pm a,k).
  • Focos: para hipérbole horizontal usa-se c^{2}=a^{2}+b^{2}. Aqui c^{2}=3+16=19,\qquad c=\sqrt{19}.Assim os focos são \text{focos: }\bigl(1\pm\sqrt{19},\,-2\bigr).Explicação: os focos ficam no mesmo eixo que os vértices, a uma distância c do centro.
  • Assíntotas: as assíntotas de uma hipérbole nessa forma são y-k = \pm\frac{b}{a}\,(x-h).Substituindo nossos valores: y+2 = \pm\frac{4}{\sqrt{3}}\,(x-1).

Passo 10

Resumo do que foi encontrado (aqui só resumo parcial; a resposta final consolidada está na seção abaixo):
  • a equação foi reduzida à forma \dfrac{(x-1)^{2}}{3}-\dfrac{(y+2)^{2}}{16}=1;
  • centro \bigl(1,-2\bigr);
  • hipérbole com eixo transverso horizontal (reta y=-2) e eixo conjugado vertical (reta x=1);
  • a=\sqrt{3}, b=4, vértices \bigl(1\pm\sqrt{3},-2\bigr), focos \bigl(1\pm\sqrt{19},-2\bigr), assíntotas y+2=\pm\dfrac{4}{\sqrt{3}}(x-1).

Resposta

Hipérbole.\nCentro: (1,-2).\nEixo transverso: reta y=-2 (horizontal); eixo conjugado: reta x=1 (vertical).

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