Determine os pontos da reta
que distam 5 do plano
.
Escolha uma opção:
◯ a.
e
◯ b.
e
◯ c.
e
◯ d.
e
◯ e.
e
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede: determinar os pontos da reta
que estão à distância do plano . - A reta
é dada por . - O plano
é dado por .
Listagem clara das informações relevantes: - A reta está em forma simétrica; há um único parâmetro que iguala as três expressões.
- A distância de um ponto
a um plano é dada por uma fórmula (vamos usar isso). - Precisaremos encontrar os pontos da reta (em função de um parâmetro) que satisfazem que a distância ao plano vale
.
Passo 2
Vamos escrever a reta em forma paramétrica (passo a passo, devagar).
- Tome o parâmetro
igual ao valor comum: . - Da primeira igualdade
obtemos
- Da segunda igualdade
obtemos , portanto
- Da terceira igualdade
obtemos
Logo um ponto genérico da reta é
Breve explicação didática: escolhemos
para parametrizar a reta porque a forma simétrica indica que as três expressões são iguais a um mesmo número; resolver cada uma para
nos dá a equação paramétrica da reta, que é mais fácil de usar para testar distâncias.
Passo 3
Apresentando a fórmula da distância ponto-plano e os coeficientes:
- Para o plano
temos , , e (pois a equação é ). - A fórmula da distância de
ao plano é
Aqui cada símbolo significa:
-
são os coeficientes do plano; -
são as coordenadas do ponto; - o numerador é o valor absoluto da substituição do ponto na expressão do plano;
- o denominador é a norma do vetor normal ao plano
. - Calculemos a norma do vetor normal:
Passo 4
Substituir
na expressão do numerador e simplificar (conta mostrada passo a passo).
- Substituindo
na expressão obtemos
- Desenvolvendo os parênteses e somando termos constantes e termos com
: -
dá . -
dá . -
dá . - e mais
.
-
- Somando os termos constantes:
. - Somando os coeficientes de
: . - Portanto
Passo 5
Impor a condição de distância igual a
e resolver para
.
- A condição é
, isto é
- Multiplicando ambos os lados por
:
- A equação com valor absoluto gera duas possibilidades:
-
. Resolve-se: então
-
. Resolve-se: então
-
Explicação didática: o valor absoluto dá duas equações lineares porque a distância geométrica pode ser alcançada por um ponto em um dos dois lados do plano; por isso aparecem duas soluções (dois pontos da reta a essa distância).
Passo 6
Calcular os pontos correspondentes a cada
(contas detalhadas).
- Para
: -
-
-
- Ponto:
.
-
- Para
: -
-
-
- Ponto:
.
Pequena verificação mental: as coordenadas são racionais com denominador, e era esperado porque os têm denominador .
-