Determine os pontos da reta r: 2-x=\frac{1-y}{5}=z+1 que distam 5 do plano \pi: x+2 y-2 z+6=0.
Escolha uma opção:
◯ a. \left(\frac{20}{13},-\frac{17}{13},-\frac{7}{13}\right) e \left(\frac{8}{13},-\frac{77}{13}, \frac{5}{13}\right)
◯ b. \left(\frac{29}{13}, \frac{28}{13},-\frac{16}{13}\right) e \left(-\frac{1}{13},-\frac{122}{13}, \frac{14}{13}\right)
◯ c. (2,1,-1) e \left(\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{1 3}},-\frac{\mathbf{1 0 7}}{\mathbf{1 3}}, \frac{\mathbf{1 1}}{\mathbf{1 3}}\right)
◯ d. \left(\frac{32}{13}, \frac{43}{13},-\frac{19}{13}\right) e \left(-\frac{4}{13},-\frac{137}{13}, \frac{17}{13}\right)
◯ e. \left(\frac{23}{13},-\frac{2}{13},-\frac{10}{13}\right) e \left(\frac{5}{13},-\frac{92}{13}, \frac{8}{13}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede: determinar os pontos da reta r que estão à distância 5 do plano \pi.
  • A reta r é dada por 2-x=\dfrac{1-y}{5}=z+1.
  • O plano \pi é dado por x+2y-2z+6=0.
    Listagem clara das informações relevantes:
  • A reta está em forma simétrica; há um único parâmetro que iguala as três expressões.
  • A distância de um ponto P(x_0,y_0,z_0) a um plano ax+by+cz+d=0 é dada por uma fórmula (vamos usar isso).
  • Precisaremos encontrar os pontos da reta (em função de um parâmetro) que satisfazem que a distância ao plano vale 5.

Passo 2

Vamos escrever a reta em forma paramétrica (passo a passo, devagar).
  • Tome o parâmetro t igual ao valor comum: t=2-x=\dfrac{1-y}{5}=z+1.
  • Da primeira igualdade 2-x=t obtemos
x=2-t.
  • Da segunda igualdade \dfrac{1-y}{5}=t obtemos 1-y=5t, portanto
y=1-5t.
  • Da terceira igualdade z+1=t obtemos
z=t-1.
Logo um ponto genérico da reta é
P(t)=(x,y,z)=(2-t,\;1-5t,\;t-1).
Breve explicação didática: escolhemos t para parametrizar a reta porque a forma simétrica indica que as três expressões são iguais a um mesmo número; resolver cada uma para x,y,z nos dá a equação paramétrica da reta, que é mais fácil de usar para testar distâncias.

Passo 3

Apresentando a fórmula da distância ponto-plano e os coeficientes:
  • Para o plano \pi temos a=1, b=2, c=-2 e d=6 (pois a equação é 1\cdot x+2\cdot y+(-2)\cdot z+6=0).
  • A fórmula da distância de P(x_0,y_0,z_0) ao plano é
\text{dist}=\frac{\left|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
Aqui cada símbolo significa:
  • a,b,c,d são os coeficientes do plano;
  • x_0,y_0,z_0 são as coordenadas do ponto;
  • o numerador é o valor absoluto da substituição do ponto na expressão do plano;
  • o denominador é a norma do vetor normal ao plano (a,b,c).
  • Calculemos a norma do vetor normal:
\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3.

Passo 4

Substituir P(t) na expressão do numerador e simplificar (conta mostrada passo a passo).
  • Substituindo x=2-t,\;y=1-5t,\;z=t-1 na expressão a x+b y+c z+d obtemos
N(t)= (2-t) + 2(1-5t) + (-2)(t-1) + 6.
  • Desenvolvendo os parênteses e somando termos constantes e termos com t:
    • (2-t) 2 - t.
    • 2(1-5t) 2 -10t.
    • (-2)(t-1) -2t+2.
    • e mais +6.
  • Somando os termos constantes: 2 + 2 + 2 + 6 = 12.
  • Somando os coeficientes de t: -t -10t -2t = -13t.
  • Portanto
N(t)=12-13t.

Passo 5

Impor a condição de distância igual a 5 e resolver para t.
  • A condição é \dfrac{|N(t)|}{3}=5, isto é
\frac{|12-13t|}{3}=5.
  • Multiplicando ambos os lados por 3:
|12-13t|=15.
  • A equação com valor absoluto gera duas possibilidades:
    1. 12-13t=15. Resolve-se: -13t=3 então
    t=-\frac{3}{13}.
    1. 12-13t=-15. Resolve-se: -13t=-27 então
    t=\frac{27}{13}.
Explicação didática: o valor absoluto dá duas equações lineares porque a distância geométrica pode ser alcançada por um ponto em um dos dois lados do plano; por isso aparecem duas soluções (dois pontos da reta a essa distância).

Passo 6

Calcular os pontos correspondentes a cada t (contas detalhadas).
  • Para t=-\dfrac{3}{13}:
    • x=2-t=2+\dfrac{3}{13}=\dfrac{26+3}{13}=\dfrac{29}{13}.
    • y=1-5t=1-5\left(-\dfrac{3}{13}\right)=1+\dfrac{15}{13}=\dfrac{13+15}{13}=\dfrac{28}{13}.
    • z=t-1=-\dfrac{3}{13}-1=-\dfrac{3+13}{13}=-\dfrac{16}{13}.
    • Ponto: \left(\dfrac{29}{13},\dfrac{28}{13},-\dfrac{16}{13}\right).
  • Para t=\dfrac{27}{13}:
    • x=2-t=2-\dfrac{27}{13}=\dfrac{26-27}{13}=-\dfrac{1}{13}.
    • y=1-5t=1-5\cdot\dfrac{27}{13}=1-\dfrac{135}{13}=\dfrac{13-135}{13}=-\dfrac{122}{13}.
    • z=t-1=\dfrac{27}{13}-1=\dfrac{27-13}{13}=\dfrac{14}{13}.
    • Ponto: \left(-\dfrac{1}{13},-\dfrac{122}{13},\dfrac{14}{13}\right).
      Pequena verificação mental: as coordenadas são racionais com denominador 13, e era esperado porque os t têm denominador 13.

Resposta

\left(\dfrac{29}{13},\dfrac{28}{13},-\dfrac{16}{13}\right)
\left(-\dfrac{1}{13},-\dfrac{122}{13},\dfrac{14}{13}\right)

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