Determine os pontos da reta r: 2-x=\frac{1-y}{2}=z+1 que distam 5 do plano \pi: x+2 y-2 z+6=0.

Escolha uma opção:

◯ a. \left(\frac{11}{7}, \frac{1}{7},-\frac{4}{7}\right) e (-1,-5,2)
◯ b. (2,1,-1) e \left(-\frac{10}{7},-\frac{41}{7}, \frac{17}{7}\right)
◯ c. \left(\frac{17}{7}, \frac{13}{7},-\frac{10}{7}\right) e \left(-\frac{13}{7},-\frac{47}{7}, \frac{20}{7}\right)
◯ d. \left(\frac{8}{7},-\frac{5}{7},-\frac{1}{7}\right) e \left(-\frac{4}{7},-\frac{29}{7}, \frac{11}{7}\right)
◯ e. \left(\frac{20}{7}, \frac{19}{7},-\frac{13}{7}\right) e \left(-\frac{16}{7},-\frac{53}{7}, \frac{23}{7}\right)

Passo 1

O enunciado dá:
  • A reta r na forma simétrica 2-x=\dfrac{1-y}{2}=z+1.
  • O plano \pi com equação x+2y-2z+6=0.
    O que se pede:
  • Determinar os pontos da reta r cuja distância ao plano \pi vale 5.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A reta está dada por uma igualdade de três razões; isso permite introduzir um parâmetro para obter a forma paramétrica da reta.
  • A distância de um ponto (x,y,z) a um plano ax+by+cz+d=0 é dada por uma fórmula que usa o valor absoluto de ax+by+cz+d e a norma do vetor normal do plano.

Passo 2

Parametrizar a reta r.
Coloque a razão comum igual a um parâmetro t:
t = 2-x = \frac{1-y}{2} = z+1.
Desse sistema isolamos x,y,z em função de t:
  • Da primeira igualdade t=2-x vem x=2-t.
  • Da segunda t=\dfrac{1-y}{2} vem 1-y=2t e assim y=1-2t.
  • Da terceira t=z+1 vem z=t-1.
Portanto a forma paramétrica da reta é
x=2-t,\qquad y=1-2t,\qquad z=t-1.
O vetor diretor da reta (derivada em relação a t) é
\vec{v}=(-1,-2,1).
Um ponto particular da reta (quando t=0) é P_0=(2,1,-1).

Passo 3

Lembrar e explicar a fórmula da distância ponto-plano.
Se o plano tem equação ax+by+cz+d=0 e Q=(x,y,z) é um ponto, a distância de Q ao plano é
\text{dist}(Q,\pi)=\frac{|ax+by+cz+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
Aqui:
  • a,b,c são as coordenadas do vetor normal \vec{n}=(a,b,c) ao plano;
  • d é o termo independente do plano;
  • o numerador |ax+by+cz+d| é o valor absoluto do produto interno \vec{n}\cdot Q + d;
  • o denominador \sqrt{a^2+b^2+c^2} é a norma de \vec{n}.
No nosso caso o plano \pi tem a=1, b=2, c=-2, d=6. A norma do vetor normal é
\|\vec{n}\|=\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3.

Passo 4

Substituir a parametrização da reta na expressão do plano para obter a condição em t.
Defina a função linear (valor do plano) em função de t:
S(t)=x+2y-2z+6.
Substituindo x=2-t, y=1-2t, z=t-1:
\begin{aligned} S(t)&=(2-t)+2(1-2t)-2(t-1)+6\\[4pt] &=2-t+2-4t-2t+2+6. \end{aligned}
Juntando termos constantes e termos com t:
  • constantes: 2+2+2+6=12,
  • coeficiente de t: -t-4t-2t=-7t.
Logo
S(t)=12-7t.
A distância de um ponto da reta (fornecido por t) ao plano é
\text{dist}(t)=\frac{|S(t)|}{3}=\frac{|12-7t|}{3}.
Queremos \text{dist}(t)=5. Assim
\frac{|12-7t|}{3}=5 \quad\Longrightarrow\quad |12-7t|=15.]

Passo 5

Resolver a equação com valor absoluto.
A equação |12-7t|=15 gera duas possibilidades:
  1. 12-7t=15. Então -7t=3 e
t=-\frac{3}{7}.
  1. 12-7t=-15. Então -7t=-27 e
t=\frac{27}{7}.
Portanto há exatamente dois valores de t que produzem pontos da reta à distância 5 do plano.

Passo 6

Calcular os pontos correspondentes a cada t.
Para t=-\dfrac{3}{7}:
\begin{aligned} x&=2-t=2-(-\tfrac{3}{7})=2+\tfrac{3}{7}=\tfrac{14}{7}+\tfrac{3}{7}=\tfrac{17}{7},\\[4pt] y&=1-2t=1-2\big(-\tfrac{3}{7}\big)=1+\tfrac{6}{7}=\tfrac{7}{7}+\tfrac{6}{7}=\tfrac{13}{7},\\[4pt] z&=t-1=-\tfrac{3}{7}-1=-\tfrac{3}{7}-\tfrac{7}{7}=-\tfrac{10}{7}. \end{aligned}
Ponto correspondente: \left(\dfrac{17}{7},\dfrac{13}{7},-\dfrac{10}{7}\right).
Para t=\dfrac{27}{7}:
\begin{aligned} x&=2-t=2-\tfrac{27}{7}=\tfrac{14}{7}-\tfrac{27}{7}=-\tfrac{13}{7},\\[4pt] y&=1-2t=1-2\cdot\tfrac{27}{7}=1-\tfrac{54}{7}=\tfrac{7}{7}-\tfrac{54}{7}=-\tfrac{47}{7},\\[4pt] z&=t-1=\tfrac{27}{7}-1=\tfrac{27}{7}-\tfrac{7}{7}=\tfrac{20}{7}. \end{aligned}
Ponto correspondente: \left(-\dfrac{13}{7},-\dfrac{47}{7},\dfrac{20}{7}\right).
(Fato curioso e útil: o ponto P_0=(2,1,-1) que era t=0 não está a distância 5 do plano; os pontos procurados vêm deslocando-se ao longo da reta no sentido do vetor diretor \vec{v}=(-1,-2,1) até atingir a distância 5.)]

Passo 7

Comparar com as alternativas: as duas coordenadas encontradas coincidem exatamente com a alternativa c.

Resposta

c. \left(\dfrac{17}{7},\dfrac{13}{7},-\dfrac{10}{7}\right) e \left(-\dfrac{13}{7},-\dfrac{47}{7},\dfrac{20}{7}\right)

Exercícios relacionados