Determine os pontos da reta
que distam 5 do plano
.
Escolha uma opção:
◯ a.
e
◯ b.
e
◯ c.
e
◯ d.
e
◯ e.
e
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O enunciado dá:
- A reta
na forma simétrica . - O plano
com equação .
O que se pede: - Determinar os pontos da reta
cuja distância ao plano vale .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A reta está dada por uma igualdade de três razões; isso permite introduzir um parâmetro para obter a forma paramétrica da reta.
- A distância de um ponto
a um plano é dada por uma fórmula que usa o valor absoluto de e a norma do vetor normal do plano.
Passo 2
Parametrizar a reta
.
Coloque a razão comum igual a um parâmetro
:
Desse sistema isolamos
em função de
:
- Da primeira igualdade
vem . - Da segunda
vem e assim . - Da terceira
vem .
Portanto a forma paramétrica da reta é
O vetor diretor da reta (derivada em relação a
) é
Um ponto particular da reta (quando
) é
.
Passo 3
Lembrar e explicar a fórmula da distância ponto-plano.
Se o plano tem equação
e
é um ponto, a distância de
ao plano é
Aqui:
-
são as coordenadas do vetor normal ao plano; -
é o termo independente do plano; - o numerador
é o valor absoluto do produto interno ; - o denominador
é a norma de .
No nosso caso o plano
tem
,
,
,
. A norma do vetor normal é
Passo 4
Substituir a parametrização da reta na expressão do plano para obter a condição em
.
Defina a função linear (valor do plano) em função de
:
Substituindo
,
,
:
Juntando termos constantes e termos com
:
- constantes:
, - coeficiente de
: .
Logo
A distância de um ponto da reta (fornecido por
) ao plano é
Queremos
. Assim
Passo 5
Resolver a equação com valor absoluto.
A equação
gera duas possibilidades:
-
. Então e
-
. Então e
Portanto há exatamente dois valores de
que produzem pontos da reta à distância
do plano.
Passo 6
Calcular os pontos correspondentes a cada
.
Para
:
Ponto correspondente:
.
Para
:
Ponto correspondente:
.
(Fato curioso e útil: o ponto
que era
não está a distância
do plano; os pontos procurados vêm deslocando-se ao longo da reta no sentido do vetor diretor
até atingir a distância
.)]
Passo 7
Comparar com as alternativas: as duas coordenadas encontradas coincidem exatamente com a alternativa c.
Resposta
c.
e