Determine a posição relativa entre os planos:
4 x+2 y-3 z+7=0 \quad \text { e } \quad 4 x+2 y-2 z+1=0 \quad \text { e } \quad-4 x-2 y+z+5=0
◯ a. Dois dos planos são paralelos e o terceiro os intersecta segundo retas paralelas
◯ b. Os três planos se intersectam, dois a dois, segundo retas paralelas entre si
◯ c. Os três planos têm um único ponto em comum
◯ d. Os três planos coincidem
◯ e. Dois dos planos coincidem e o terceiro os intersecta ao longo de uma reta
◯ f. Os três planos são distintos e se intersectam ao longo de uma reta
◯ g. Os planos são paralelos dois a dois
◯ h. Dois planos coincidem e o terceiro é paralelo a eles

Passo 1

O enunciado dá os três planos
P_1:\;4x+2y-3z+7=0, \qquad P_2:\;4x+2y-2z+1=0, \qquad P_3:\;-4x-2y+z+5=0,
e pede que se determine a posição relativa entre eles, escolhendo entre as alternativas (a)–(h).
As informações relevantes que temos (pegar direto do enunciado):
  • As equações explícitas dos três planos dadas acima.
  • Cada plano tem uma forma linear ax+by+cz+d=0 com coeficientes conhecidos.

Passo 2

Regra útil (aula rápida): a direção “normal” de um plano ax+by+cz+d=0 é o vetor normal \mathbf{n}=(a,b,c).
  • Dois planos são paralelos se e somente se seus vetores normais são proporcionais (isto é, um é múltiplo escalar do outro).
  • Dois planos coincidem se os vetores normais são proporcionais e os termos independentes também se ajustam pelo mesmo fator (toda a equação é múltipla).
Vamos extrair os vetores normais:
\mathbf{n}_1=(4,2,-3),\qquad \mathbf{n}_2=(4,2,-2),\qquad \mathbf{n}_3=(-4,-2,1).
Agora verificamos proporcionalidade par a par:
  • Entre \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2: se existisse k tal que \mathbf{n}_1=k\mathbf{n}_2, então olhando às primeiras componentes teríamos 4=k\cdot 4\Rightarrow k=1, e isso exigiria -3=1\cdot(-2), o que é falso. Logo \mathbf{n}_1 não é proporcional a \mathbf{n}_2.
  • Entre \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_3: se \mathbf{n}_3=k\mathbf{n}_1, pelas primeiras componentes teríamos -4=k\cdot 4\Rightarrow k=-1, e então a terceira componente exigiria 1=-1\cdot(-3)=3, o que é falso. Logo não são proporcionais.
  • Entre \mathbf{n}_2 e \mathbf{n}_3: pelas primeiras componentes -4=k\cdot 4\Rightarrow k=-1; então a terceira componente exigiria 1=-1\cdot(-2)=2, falso. Logo não são proporcionais.
Conclusão desta verificação: nenhum par de normais é proporcional, portanto nenhum par de planos é paralelo e nenhum par coincide. Assim eliminam-se as alternativas que envolvem paralelismo entre dois a dois, coincidir dois planos, ou todos paralelos.

Passo 3

Para saber se existe interseção única (um ponto), uma reta comum, ou interseções em retas não concorrentes, resolvemos o sistema formado pelas três equações. Escrevendo as constantes no lado direito:
\begin{cases} 4x+2y-3z=-7,\\[4pt] 4x+2y-2z=-1,\\[4pt] -4x-2y+z=-5. \end{cases}
Uma estratégia simples é subtrair linhas para eliminar variáveis. Subtraindo a segunda equação da primeira ( P_1 - P_2):
(4x-4x)+(2y-2y)+(-3z-(-2z)) = -7-(-1)
0+0+(-z) = -6 \quad\Rightarrow\quad -z=-6 \quad\Rightarrow\quad z=6.
Ótimo — encontramos z.]

Passo 4

Agora substituímos \;z=6\; em cada equação para ver que restrição isso impõe a x e y.
Substituindo em P_2 (forma original 4x+2y-2z+1=0):
4x+2y-2\cdot 6 +1 = 0
4x+2y-12+1=0
4x+2y-11=0 \quad\Rightarrow\quad 4x+2y=11.
Substituindo em P_3 (forma original -4x-2y+z+5=0):
-4x-2y+6+5=0
-4x-2y+11=0 \quad\Rightarrow\quad 4x+2y-11=0,
que é a mesma equação 4x+2y=11.
Substituindo em P_1 (forma original 4x+2y-3z+7=0):
4x+2y-3\cdot 6 +7=0
4x+2y-18+7=0
4x+2y-11=0,
novamente a mesma equação. Então, após fixar z=6, as três equações reduzem à MESMA equação linear em x,y, \;4x+2y=11.

Passo 5

Interpretação linear: o sistema original de três equações é equivalente ao sistema composto por
\begin{cases} z=6,\\[4pt] 4x+2y=11. \end{cases}
Isto são duas equações independentes em três incógnitas, portanto a solução geral tem um parâmetro livre — geometricamente, o conjunto solução é uma reta (infinitos pontos alinhados) em \mathbb{R}^3. Como todas as três equações impõem exatamente essas duas restrições (nenhuma inconsistente), todos os três planos se intersectam e a interseção comum é essa reta.
Para ficar bem concreto, uma forma paramétrica da reta de interseção: escolha parâmetro t com y=t. Da equação 4x+2y=11 vem
4x+2t=11 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{11-2t}{4}.
Com z=6 temos a reta
(x,y,z)=\left(\frac{11-2t}{4},\,t,\,6\right),\qquad t\in\mathbb{R},
ou, escolhemdo t=0 como ponto base, ponto \left(\dfrac{11}{4},0,6\right) e vetor diretor \left(-\dfrac{1}{2},1,0\right) (equivalentemente (-1,2,0)).]

Passo 6

Resumo da análise:
  • Nenhum par de planos é paralelo nem coincide (os vetores normais não são proporcionais).
  • A resolução do sistema mostra que as três equações reduzem a duas independentes ( z=6 e 4x+2y=11), cuja solução é uma reta.
  • Portanto os três planos são distintos e têm interseção comum que é uma reta.

Resposta

(f)

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