A distância entre as retas r: X=(1,2,3)+\lambda(-1,1,-2), \lambda \in \mathbb{R} e s: X=(-1,-2,1)+\alpha(-1,3,-1), \alpha \in \mathbb{R} é:
Escolha uma opção:
◯ a. 1,82
◯ b. 2,21
◯ c. 1,23
◯ d. 3,81
◯ e. 4,24
Passo 1
O enunciado dá duas retas no espaço por forma paramétrica e pede a distância entre elas. As informações relevantes que temos são:
Reta r: ponto P=(1,2,3) e vetor diretor u=(-1,1,-2).
Reta s: ponto Q=(-1,-2,1) e vetor diretor v=(-1,3,-1).
A pergunta clara: calcular a distância mínima entre as retas r e s (valor numérico).
Passo 2
Escolha do método: para duas retas no espaço que não são paralelas uma à outra (ou mesmo se forem paralelas trataria-se de outro caso), a fórmula vetorial direta e rápida para a distância entre retas é
Vou usar essa fórmula porque ela dá a distância mínima entre retas em 3D de forma direta e permite cálculo com operações vetoriais básicas. (Se u\times v=\mathbf{0} as retas são paralelas e outro procedimento seria necessário; aqui \;u\times v\neq\mathbf{0}.)
Passo 3
Explicação didática da fórmula (por que funciona):
Seja w=Q-P o vetor que liga um ponto de r a um ponto de s.
O vetor n=u\times v é perpendicular a ambos os vetores diretores u e v, ou seja, é uma direção ortogonal às duas retas.
A componente de w na direção perpendicular comum (isto é, na direção de n) dá exatamente a distância mínima entre as retas: projetando w sobre o versor de n obtém-se |w\cdot \hat n| com \hat n=n/\|n\|.
Portanto d=|w\cdot \hat n|=\dfrac{|w\cdot n|}{\|n\|}, que é a fórmula usada.
Passo 4
Calcular w=Q-P. Peguei P e Q do enunciado:
P=(1,2,3),\qquad Q=(-1,-2,1).
Então
w=Q-P = (-1-1,\;-2-2,\;1-3) = (-2,-4,-2).
Passo 5
Calcular o produto vetorial u\times v. Peguei u e v do enunciado:
u=(-1,1,-2),\qquad v=(-1,3,-1).
Usando a fórmula componente a componente:
u\times v = \bigl(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\bigr).
Substituindo:
u\times v = \bigl(1\cdot(-1)-(-2)\cdot3,\;(-2)\cdot(-1)-(-1)\cdot(-1),\;(-1)\cdot3-1\cdot(-1)\bigr).
Calculando cada componente:
u\times v = ( -1+6,\;2-1,\;-3+1 ) = (5,1,-2).
Passo 6
Calcular o produto escalar w\cdot (u\times v). Usando w=(-2,-4,-2) e u\times v=(5,1,-2):