Determine os pontos da reta r: 2-x=\frac{1-y}{3}=z+1 que distam 2 do plano \pi: x+2 y-2 z+6=0.
Escolha uma opção:
a. \left(\frac{8}{3}, 3,-\frac{5}{3}\right) e \left(-\frac{4}{3},-9, \frac{7}{3}\right)
b. \left(\frac{5}{3}, 0,-\frac{2}{3}\right) e \left(-\frac{1}{3},-6, \frac{4}{3}\right)
c. (2,1,-1) e \left(-\frac{2}{3},-7, \frac{5}{3}\right)
d. \left(\frac{4}{3},-1,-\frac{1}{3}\right) e (0,-5,1)
e. \left(\frac{7}{3}, 2,-\frac{4}{3}\right) e (-1,-8,2)

Passo 1

O enunciado diz para encontrar os pontos da reta
r:\;2 - x \;=\;\frac{1 - y}{3}\;=\;z + 1
que estão à distância 2 do plano
\pi:\;x + 2y - 2z + 6 = 0.
O conteúdo envolve geometria analítica: parametrizar reta e usar a fórmula da distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Vamos introduzir o parâmetro t pela igualdade comum:
2 - x = t,\quad \frac{1 - y}{3} = t,\quad z + 1 = t.
Dessa forma,
x = 2 - t,\quad y = 1 - 3t,\quad z = t - 1.

Passo 3

O vetor normal ao plano é n = (1,2,-2), cuja norma é
\|n\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = 3.
A distância de P(t)=(2 - t,\;1 - 3t,\;t - 1) ao plano é
\mathrm{dist}(P(t),\pi) = \frac{\bigl|x + 2y - 2z + 6\bigr|}{\|n\|} = \frac{\bigl|(2 - t) + 2(1 - 3t) - 2(t - 1) + 6\bigr|}{3}.
Calculando o numerador:
(2 - t) + 2(1 - 3t) - 2(t - 1) + 6 = 2 - t + 2 - 6t - 2t + 2 + 6 = 12 - 9t.

Passo 4

Impondo \mathrm{dist}(P(t),\pi)=2, vem
\frac{|12 - 9t|}{3} = 2 \quad\Longrightarrow\quad |12 - 9t| = 6.
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12 - 9t = 6 \implies t = \tfrac{2}{3}, \qquad 12 - 9t = -6 \implies t = 2.

Passo 5

Para t = \tfrac{2}{3}:
x = 2 - \tfrac{2}{3} = \tfrac{4}{3},\quad y = 1 - 3\cdot\tfrac{2}{3} = -1,\quad z = \tfrac{2}{3} - 1 = -\tfrac{1}{3}.
Para t = 2:
x = 2 - 2 = 0,\quad y = 1 - 3\cdot 2 = -5,\quad z = 2 - 1 = 1.
Portanto os pontos são \bigl(\tfrac{4}{3},-1,-\tfrac{1}{3}\bigr) e (0,-5,1), que correspondem à opção d.

Resposta

d. \bigl(\tfrac{4}{3},-1,-\tfrac{1}{3}\bigr) e (0,-5,1)

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