Encontre a área do triângulo cujos vértices são os pontos A=(3,3,2), B=(-2,1,2) e C=(2,2,1).
Resposta: \frac{\sqrt{38}}{2} u.a.

Passo 1

O enunciado pede a área do triângulo determinado pelos pontos
\,A=(3,3,2), \,B=(-2,1,2) e \,C=(2,2,1).
Como estamos em \mathbb{R}^3, vamos usar produto vetorial para obter a área:
a área vale metade da norma do produto vetorial de dois lados.

Passo 2

Definimos os vetores que correspondem a dois lados do triângulo:
\vec{AB} = B - A = (-2-3,\;1-3,\;2-2) = (-5,-2,0),
\vec{AC} = C - A = (2-3,\;2-3,\;1-2) = (-1,-1,-1).

Passo 3

Calculamos o produto vetorial
\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -5 & -2 & 0 \\\\ -1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = (2,\,-5,\,3).

Passo 4

Agora achamos a norma desse vetor:
\big\|\vec{AB}\times\vec{AC}\big\| = \sqrt{2^2 + (-5)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 25 + 9} = \sqrt{38}.

Passo 5

Por fim, a área do triângulo é metade dessa norma:
\text{Área} = \tfrac12\,\big\|\vec{AB}\times\vec{AC}\big\| = \tfrac12\,\sqrt{38} = \frac{\sqrt{38}}{2}.Á

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{38}}{2} u.a.

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