Sejam \boldsymbol{r} uma reta com vetor diretor \overrightarrow{\boldsymbol{r}} e \pi um plano com vetor normal \overrightarrow{\boldsymbol{n}}. Se \overrightarrow{\boldsymbol{r}} \cdot \overrightarrow{\boldsymbol{n}}=\mathbf{0} então d(r, \pi) \neq 0.
Escolha uma opção:
O Verdadeiro
Falso

Passo 1

O enunciado diz que temos uma reta r com vetor diretor \overrightarrow{r} e um plano \pi com vetor normal \overrightarrow{n}. Pede-se analisar se, dado
\overrightarrow{r}\cdot\overrightarrow{n}=0,
então a distância entre r e \pi, denotada d(r,\pi), é obrigatoriamente diferente de zero. Vamos usar conceitos de posição relativa entre reta e plano e a fórmula da distância de uma reta paralela a um plano.

Passo 2

Quando \overrightarrow{r}\cdot\overrightarrow{n}=0, concluímos que a direção da reta é ortogonal ao vetor normal do plano. Por definição isso significa que a reta é paralela ao plano (pois o plano é formado por todos os vetores ortogonais a \overrightarrow{n}).

Passo 3

Se uma reta é paralela a um plano, a distância entre eles é constante e dada por
d(r,\pi) = \frac{\bigl|\overrightarrow{n}\cdot(\overrightarrow{A}-\overrightarrow{P_0})\bigr|}{\|\overrightarrow{n}\|},
onde \overrightarrow{A} é qualquer ponto da reta r e \overrightarrow{P_0} é um ponto do plano \pi. Note que esse valor pode ser zero ou positivo, dependendo de \overrightarrow{A}.

Passo 4

Para ver que d(r,\pi)\) pode ser zero mesmo com \(\overrightarrow{r}\cdot\overrightarrow{n}=0\), basta escolher \(r\) contida em \(\pi\). Por exemplo, seja \[\pi: z=0\quad(\overrightarrow{n}=(0,0,1)),
e
r:\begin{cases}x=t,\y=0,\z=0,\end{cases}
com vetor diretor \overrightarrow{r}=(1,0,0)\]. Então \[\overrightarrow{r}\cdot\overrightarrow{n}=0\] e, como toda a reta está em \(z=0, temos d(r,\pi)=0.

Resposta

Falso

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