O lugar geométrico dos pontos do espaço equidistantes dos pontos A e B é uma reta perpendicular ao vetor \overrightarrow{A B}.
Escolha uma opção:
Verdadeiro
Falso
Passo 1
O enunciado diz que, em \mathbb{R}^3, o lugar geométrico dos pontos P tais que PA = PB é uma reta perpendicular ao vetor \overrightarrow{AB}. O conteúdo aqui é o estudo de locus geométrico usando distância no espaço e identificar se esse conjunto de pontos forma um plano, reta ou outra superfície.
Passo 2
Seja A=(x_A,y_A,z_A), B=(x_B,y_B,z_B) e um ponto genérico P=(x,y,z). A condição de equidistância é
Os termos x^2+y^2+z^2 aparecem dos dois lados e se cancelam, sobrando uma equação linear em x,y,z.
Passo 3
Após simplificar, chega-se a
2\,(B - A)\cdot P \;=\; B\cdot B \;-\; A\cdot A
ou seja,
(B - A)\cdot P \;=\;\frac{\lVert B\rVert^2 - \lVert A\rVert^2}{2}.
Isto é a equação de um plano cujas normais são paralelas a B-A.
Passo 4
Concluímos que o conjunto de pontos equidistantes de A e B em \mathbb{R}^3 é um plano perpendicular a \overrightarrow{AB} e passando pelo ponto médio de AB, não uma reta.