Determine os pontos em que a reta tangente à função é horizontal.
f(x)=x^4 e^x

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente tem a função f(x)=x^4e^x e quer encontrar os pontos em que a reta tangente é horizontal, isto é, onde f'(x)=0. Vamos usar derivada de produto e resolução de equação.

Passo 2

Para calcular a derivada, aplicamos a regra do produto em f(x)=u(x)v(x) com u(x)=x^4 e v(x)=e^x. Assim
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=4x^3e^x+x^4e^x=e^xl(4x^3+x^4r)=e^x x^3(x+4)

Passo 3

Agora, para achar onde f'(x)=0, montamos a equação
e^x x^3(x+4)=0
Como e^x nunca zera, a solução vem de x^3(x+4)=0, ou seja, x=0 (multiplicidade 3) ou x=-4.

Passo 4

Por fim, encontramos as ordenadas: f(0)=0^4e^0=0 e f(-4)=(-4)^4e^-4=256e^-4.

Resposta

Os pontos são (0,0) e (-4,256e^-4).

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