Determine os pontos em que a reta tangente à função é horizontal.
f(x)=3 x-2 raizx

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos em que a reta tangente à função f(x)=3x-2raizx é horizontal. Isso envolve calcular a derivada f'(x) e resolver f'(x)=0. Vamos usar as regras de derivação (derivada de x e de raizx).

Passo 2

Para começar, derivamos cada termo de f(x). A derivada de 3x é 3 e a derivada de -2raizx é
f'(x)=3-2times12raizx=3-1raizx

Passo 3

Agora igualamos a derivada a zero para achar onde a tangente é horizontal:
3-1raizx=0

Passo 4

Resolvendo a equação, isolamos 1/raizx:
1raizx=3

Passo 5

Invertemos e elevamos ao quadrado para achar x:
raizx=13Rightarrow x=(13)^2=19

Passo 6

Por fim, calculamos y=f(1/9) para obter o ponto completo:
fl(tfrac19r)=3cdot19-2cdot13=13-23=-13

Resposta

O ponto em que a reta tangente é horizontal é l(tfrac19,-tfrac13r).

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