Encontre a derivada da função.
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função y=2^{sen(πx)}. O conteúdo principal é a derivação de uma exponencial de base constante com função composta no expoente, usando a regra da cadeia e a derivada de seno.
Passo 2
Vamos chamar u(x)=sen(πx), assim y=2^{u(x)}. Para derivar, precisamos de u’(x) e da fórmula da derivada de a^{u(x)}.
Passo 3
Calculando u’(x):
A derivada de sen(πx) aplica a regra da cadeia: primeiro derivamos sen(v) em relação a v, que dá cos(v), e depois multiplicamos pela derivada de v=πx. Logo,
A derivada de sen(πx) aplica a regra da cadeia: primeiro derivamos sen(v) em relação a v, que dá cos(v), e depois multiplicamos pela derivada de v=πx. Logo,
Passo 4
Agora usamos a fórmula da derivada de uma exponencial de base a constante: se y=a^{u(x)}, então y’=a^{u(x)}\ln(a)\cdot u’(x). Substituindo a=2 e u’(x) obtido acima, temos: y’=2^{sen(πx)}\ln(2)\cdot(π\cos(πx)).