Determine os pontos em que a reta tangente à função é horizontal.
f(x)=e^xx

Passo 1

Temos a função f(x)= e^xx. Queremos os pontos onde a reta tangente é horizontal, isto é, onde a derivada f'(x)=0. Para isso, vamos usar a regra do quociente e lembrar que o domínio é x≠0.

Passo 2

Aplicando a regra do quociente: sejam u(x)= e^x e v(x)= x. Então u’(x)= e^x e v’(x)=1. A derivada é
f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2=e^xcdot x - e^xcdot 1x^2=e^x(x-1)x^2

Passo 3

Para achar onde a tangente é horizontal, igualamos f’(x)=0. Como e^x>0 para todo x, basta resolver
e^x(x-1)=0implies x-1=0implies x=1

Passo 4

Por fim, calculamos o valor da função em x=1:
f(1)=e^11=e

Passo 5

Portanto, o ponto onde a reta tangente é horizontal é (1,e).

Resposta

(1,e)

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