Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.
y=x+tg x, (pi, pi)

Passo 1

Nossa missão é achar a reta tangente à curva y = x + tan x no ponto (pi,pi). O conteúdo principal é derivadas e a forma ponto-declive de uma reta tangente.

Passo 2

Primeiro vamos calcular a derivada de y(x) = x + tan x. Sabendo que ddx(x)=1 e ddx(tan x)=sec^2 x, temos:
y' = 1 + sec^2 x

Passo 3

Agora avaliamos a derivada em x=pi. Como secpi = -1, segue que sec^2pi = 1. Logo:
y'(pi) = 1 + 1 = 2

Passo 4

Usamos a forma ponto-declive da reta tangente:
y - y0 = m,(x - x0),
onde (x0,y0)=(pi,pi) e m=y'(pi)=2.

Passo 5

Substituindo e simplificando:
y - pi = 2(x - pi) Longrightarrow y = 2x - 2pi + pi = 2x - pi

Resposta

y = 2x - \pi

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