Determine em que pontos as seguintes funçc̃es são contínuas:
e) f(x)=e^x^2+e^sen(x)+2(x^2+6)(e^x+1)

Passo 1

O enunciado pede para determinar os pontos de continuidade da função
a seguir:
f(x)=e^x^2+e^sin(x)+2(x^2+6)(e^x+1)
Este é um problema de continuidade de função dada por quociente, então vamos precisar usar que polinômios, exponenciais e seno são contínuos, bem como soma, produto e composição de funções contínuas, e ainda verificar onde o denominador se anula.

Passo 2

Primeiro, observe cada parte da função:
e^x^2 é composição de polinômio e exponencial, contínua em todo R.
e^sin(x) é composição de seno e exponencial, contínua em todo R.
– A constante 2 é contínua em todo R.
– Logo, o numerador e^x^2 + e^sin(x) + 2 é soma de contínuas e, portanto, contínuo em todo R.
x^2+6 é polinômio, contínuo em todo R.
e^x+1 é soma de exponencial e constante, contínua em todo R.
– Assim, o denominador (x^2+6)(e^x+1) é produto de contínuas e é contínuo em todo R.

Passo 3

Agora, para funções definidas por quociente, a continuidade se estende a todos os pontos em que o denominador é diferente de zero. Vamos verificar onde
(x^2+6)(e^x+1)=0
Temos x^2+6>=6>0 para todo x, e e^x+1>1>0 para todo x. Portanto, o denominador nunca se anula.

Passo 4

Como o numerador e o denominador são contínuos em todo R e o denominador não zera em nenhum ponto, concluímos que
f(x) é contínua para todo xinR.

Resposta

A função é contínua em todo o conjunto dos números reais ((-
abla,
abla)), ou seja, em R.

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