Determine em que pontos as seguintes funçc̃es são contínuas:
e)
e)
Passo 1
O enunciado pede para determinar os pontos de continuidade da função
a seguir:
a seguir:
Este é um problema de continuidade de função dada por quociente, então vamos precisar usar que polinômios, exponenciais e seno são contínuos, bem como soma, produto e composição de funções contínuas, e ainda verificar onde o denominador se anula.
Passo 2
Primeiro, observe cada parte da função:
– é composição de polinômio e exponencial, contínua em todo
.
– é composição de seno e exponencial, contínua em todo
.
– A constante é contínua em todo
.
– Logo, o numerador é soma de contínuas e, portanto, contínuo em todo
.
– é polinômio, contínuo em todo
.
– é soma de exponencial e constante, contínua em todo
.
– Assim, o denominador é produto de contínuas e é contínuo em todo
.
–
–
– A constante
– Logo, o numerador
–
–
– Assim, o denominador
Passo 3
Agora, para funções definidas por quociente, a continuidade se estende a todos os pontos em que o denominador é diferente de zero. Vamos verificar onde
Temos
para todo
, e
para todo
. Portanto, o denominador nunca se anula.
Passo 4
Como o numerador e o denominador são contínuos em todo
e o denominador não zera em nenhum ponto, concluímos que
é contínua para todo
.
Resposta
A função é contínua em todo o conjunto dos números reais ((-
abla,
abla,
abla)), ou seja, em
.