Determine em que pontos as seguintes funções são contínuas:
e) f(x)=e^x^2+e^sen(x)+2(x^2+6)(e^x+1)

Passo 1

O problema quer achar onde a função f(x)=e^x^2+e^sen(x)+2(x^2+6)(e^x+1) é contínua. O conteúdo é análise de continuidade e vamos usar que soma, produto e quociente de funções contínuas (desde que o denominador não zere) também são contínuas.

Passo 2

O numerador g(x)=e^x^2+e^sen(x)+2 é soma de exponenciais e constante. Todas essas funções são contínuas em R, logo g é contínua em todo R.

Passo 3

O denominador h(x)=(x^2+6)(e^x+1) é produto de x^2+6 (polinomial) e e^x+1 (exponencial mais constante). Ambas são contínuas em R, então h é contínua em todo R.

Passo 4

Para aplicar a regra do quociente precisamos garantir que h(x)neq0. Note que x^2+6>=6>0 e e^x+1>1 para todo xinR, portanto h(x)neq0 em R.

Passo 5

Como g e h são contínuas em R e h(x)neq0 para todo x, pela regra do quociente f(x)=dfracg(x)h(x) é contínua em todo R.

Resposta

A função f é contínua para todo xinR.

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