Escreva a equação em coordenadas cilíndricas e esféricas.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para escrever a equação $ z^{2} = x^{2} + y^{2} $ em coordenadas cilíndricas e esféricas. Para isso, vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas
para coordenadas cilíndricas
e esféricas
. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos converter a equação para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
Substituindo
e
na equação original:
Isso simplifica para:
Sabemos que
, então:
Portanto, a equação em coordenadas cilíndricas fica:
Passo 3
Agora, vamos transformar a equação para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, temos:
Substituindo
e
na equação original:
Isso fica:
Novamente,
, então:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
Isso implica que:
O que acontece quando:
Portanto, a equação em coordenadas esféricas é:
Resposta
A equação $ z^{2} = x^{2} + y^{2} $ em coordenadas cilíndricas é $ z^{2} = r^{2} $ e em coordenadas esféricas é $ \phi = \frac{\pi}{4} $.