Escreva a equação em coordenadas cilíndricas e esféricas.
z^2=x^2+y^2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para escrever a equação $ z^{2} = x^{2} + y^{2} $ em coordenadas cilíndricas e esféricas. Para isso, vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas z^2 = x^2 + y^2 para coordenadas cilíndricas (x, y, z) e esféricas (r, theta, z). Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos converter a equação para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
x = r costheta, y = r sintheta, z = z
Substituindo x e y na equação original:
z^2 = (r costheta)^2 + (r sintheta)^2
Isso simplifica para:
z^2 = r^2 (cos^2theta + sin^2theta)
Sabemos que cos^2theta + sin^2theta = 1, então:
z^2 = r^2
Portanto, a equação em coordenadas cilíndricas fica:
z^2 = r^2

Passo 3

Agora, vamos transformar a equação para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, temos:
x = rho sinphi costheta, y = rho sinphi sintheta, z = rho cosphi
Substituindo x e y na equação original:
z^2 = (rho sinphi costheta)^2 + (rho sinphi sintheta)^2
Isso fica:
(rho cosphi)^2 = rho^2 sin^2phi (cos^2theta + sin^2theta)
Novamente, cos^2theta + sin^2theta = 1, então:
rho^2 cos^2phi = rho^2 sin^2phi
Dividindo ambos os lados por rho^2 (assumindo rho neq 0):
cos^2phi = sin^2phi
Isso implica que:
cosphi = sinphi
O que acontece quando:
phi = pi4
Portanto, a equação em coordenadas esféricas é:
phi = pi4

Resposta

A equação $ z^{2} = x^{2} + y^{2} $ em coordenadas cilíndricas é $ z^{2} = r^{2} $ e em coordenadas esféricas é $ \phi = \frac{\pi}{4} $.

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