Verifique se as seguintes equações admitem, pelo menos, uma raiz real:
e) x^5-x^3+x^2=0

Passo 1

A equação dada é x^5-x^3+x^2=0. O conteúdo aqui envolve fatoração de polinômio e teorema do valor intermediário para mostrar existência de raiz real.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o polinômio extraindo x^2 em evidência:
x^5-x^3+x^2=x^2(x^3-x+1)
As soluções de x^2(x^3-x+1)=0 vêm de
1) x^2=0
2) x^3-x+1=0
Da primeira, temos imediatamente x=0, que é raiz real (multiplicidade 2).

Passo 3

Agora analisamos f(x)=x^3-x+1. Como é um polinômio de grau ímpar, ele admite pelo menos uma raiz real. Podemos também verificar sinais:
f(-2)=(-2)^3-(-2)+1=-8+2+1=-5<0
f(0)=0-0+1=1>0
Pelo teorema do valor intermediário, existe uma raiz real de f(x)=0 em (-2,0).

Passo 4

Portanto, a equação original tem pelo menos uma raiz real (na verdade, duas distintas: x=0 e a raiz real de x^3-x+1=0).

Resposta

Sim. A equação admite raízes reais: x=0 (multiplicidade 2) e uma raiz real de x^3-x+1=0 localizada em (-2,0).

Exercícios relacionados