Esboce o gráfico.
f(x)=x^4+4 x^3

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função f(x)=x4+4x3. Estamos no conteúdo de análise de funções: estudar derivadas para determinar monotonia, extremos e concavidade, além de interceptos e comportamento no infinito, e usar tudo isso para desenhar o esboço.

Passo 2

Vamos calcular a primeira e a segunda derivadas para ver monotonia e concavidade. A primeira derivada é
f'(x)=4x^3+12x^2=4x^2(x+3)
A segunda derivada é
f''(x)=12x^2+24x=12x(x+2)

Passo 3

Para achar os pontos críticos a gente resolve f’(x)=0: isso dá x=0 (multiplicidade 2) e x=-3. Avaliando f em -3 e em 0 temos
f(-3)=(-3)^4+4(-3)^3=81-108=-27,
f(0)=0
Analisando o sinal de f’ (por teste de sinal) vemos que a função decresce antes de x=-3, cresce entre -3 e 0 e continua crescendo depois de 0. Logo em x=-3 há um mínimo local em (-3,-27). Em x=0 não há mudança de monotonia, é ponto de inflexão com tangente horizontal.

Passo 4

Para ver concavidade e pontos de inflexão, igualamos f’’(x)=0 dando x=-2 e x=0. Testando o sinal de f’’ em cada intervalo:
  • Em x<-2, f’>0 → concavidade para cima.
  • Em -2<x<0, f’’<0 → concavidade para baixo.
  • Em x>0, f’>0 → concavidade para cima.
    Isso confirma inflexão em x=-2 e em x=0. Calculando f(-2) temos f(-2)=16-32=-16.

Passo 5

Vamos achar os zeros e o comportamento no infinito. Fatorando f(x)=x^3(x+4), logo as raízes são x=0 (multiplicidade 3) e x=-4 (multiplicidade 1). No infinito, como o termo dominante é x^4>0, a curva sobe para +∞ quando x→±∞.

Passo 6

Com todas essas informações podemos esboçar o gráfico: interceptos em (-4,0) e (0,0) com ponto de inflexão triplo em (0,0), mínimo local em (-3,-27), pontos de inflexão em (-2,-16) e (0,0), concavidade mudando em x=-2 e x=0, decresce até x=-3 e cresce depois.
No esboço a curva chega de cima à esquerda, cruza em x=-4, atinge o mínimo em (-3,-27), sobe inflectindo em (-2,-16), passa suavemente por (0,0) com tangente horizontal, e continua subindo para +∞ à direita.

Resposta

O esboço qualitativo é uma curva quartica que: sobe para +∞ à esquerda, cruza o eixo x em (-4,0), tem mínimo local em (-3,-27), muda de concavidade em (-2,-16), passa por (0,0) com tangente horizontal (ponto de inflexão triplo) e sobe para +∞ à direita.

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