Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange, determine os valores extremos da função
sobre a elipse
.
Passo 1
Resumindo o problema, queremos encontrar os extremos da função
sujeita à restrição
. O método dos multiplicadores de Lagrange diz que, nos pontos críticos com restrição, vale
, onde definimos
.
Passo 2
Primeiro, calculamos os gradientes de
e de
. Temos
Passo 3
Agora escrevemos as equações de Lagrange:
junto com a restrição
Passo 4
Para resolver, observamos que cada equação pode ter o fator
ou
, ou permitir divisão. Se
e
então
e
, o que é impossível. Assim, analisamos os casos:
- Caso
: da primeira equação e da restrição dá . - Caso
: da segunda equação e da restrição dá .
Passo 5
Portanto, os pontos críticos são
Passo 6
Para decidir máximos e mínimos, avaliamos
nesses pontos:
O menor valor de
é
em
e o maior valor é
em
.
Resposta
Os extremos são: mínimo de
nos pontos
e máximo de
nos pontos
.