Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange, determine os valores extremos da função
f(x, y)=3 x^2+4 y^2
sobre a elipse 2 x^2+3 y^2=1.

Passo 1

Resumindo o problema, queremos encontrar os extremos da função f(x,y)=3x^2+4y^2 sujeita à restrição 2x^2+3y^2=1. O método dos multiplicadores de Lagrange diz que, nos pontos críticos com restrição, vale nabla f=lambdanabla g, onde definimos g(x,y)=2x^2+3y^2-1.

Passo 2

Primeiro, calculamos os gradientes de f e de g. Temos
partial fpartial x=6x, partial fpartial y=8y,
partial gpartial x=4x, partial gpartial y=6y

Passo 3

Agora escrevemos as equações de Lagrange:
6x=lambda,4x, 8y=lambda,6y,
junto com a restrição
2x^2+3y^2=1

Passo 4

Para resolver, observamos que cada equação pode ter o fator x=0 ou y=0, ou permitir divisão. Se xneq0 e yneq0 então lambda=6x/(4x)=3/2 e lambda=8y/(6y)=4/3, o que é impossível. Assim, analisamos os casos:
  • Caso y=0, xneq0: da primeira equação lambda=3/2 e da restrição 2x^2=1 x=pm1/raiz2.
  • Caso x=0, yneq0: da segunda equação lambda=4/3 e da restrição 3y^2=1 y=pm1/raiz3.

Passo 5

Portanto, os pontos críticos são
(pm1/raiz2,0) e (0,pm1/raiz3)

Passo 6

Para decidir máximos e mínimos, avaliamos f nesses pontos:
f(pm1/raiz2,0)=3l(tfrac12r)=tfrac32,
f(0,pm1/raiz3)=4l(tfrac13r)=tfrac43
O menor valor de f é 4/3 em (0,pm1/raiz3) e o maior valor é 3/2 em (pm1/raiz2,0).

Resposta

Os extremos são: mínimo de f=4/3 nos pontos (0,pm1/raiz3) e máximo de f=3/2 nos pontos (pm1/raiz2,0).

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