Determine em que pontos as seguintes funções são contínuas:
c) f(x)=x^5+x^4-x^2+1sec (x^2+1)

Passo 1

A questão pede para achar onde a função
f(x)=\frac{x{5}+x{4}-x{2}+1}{\sec\bigl(x{2}+1\bigr)}
é contínua. O conteúdo aqui é continuidade de funções compostas e quocientes: sabemos que polinômios e funções trigonométricas são contínuos onde estão definidos, e para quocientes só precisamos exigir que o denominador não se anule.

Passo 2

O numerador P(x)=x{5}+x{4}-x^{2}+1 é um polinômio, logo contínuo em todo R. O denominador é secl(x^2+1r), que é definido sempre que cosl(x^2+1r)neq0.

Passo 3

Para garantir a definição de secl(x^2+1r) precisamos resolver
cosl(x^2+1r)=0
Sabemos que cos(t)=0 exatamente quando
t=pi2+kpi, kinZ
Logo
x^2+1=pi2+kpi

Passo 4

Isolando x obtemos
x^2=(2k+1)pi2-1
e portanto
x=pmraiz(2k+1)pi2-1,, kinZ,
sendo que só faz sentido quando o radicando é não-negativo.

Passo 5

Concluímos que a única causa de descontinuidade é onde cos(x^2+1)=0, ou seja nos pontos
x=pmraiztfrac(2k+1)pi2-1. Em todos os outros pontos do eixo real a função é composta por operações contínuas (polinômio, coseno e quociente com denominador não nulo), logo é contínua ali.

Resposta

A função é contínua para todo x real tais que x^2+1neqtfrac(2k+1)pi2, ou seja em
x\in\mathbb{R}\setminus\left{\pm\sqrt{\tfrac{(2k+1)\pi}{2}-1};\bigm|;k\in\mathbb{Z},;\tfrac{(2k+1)\pi}{2}-1\ge0\right}.

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