Determine em que pontos as seguintes funções são contínuas:
c)
c)
Passo 1
A questão pede para achar onde a função
f(x)=\frac{x{5}+x{4}-x{2}+1}{\sec\bigl(x{2}+1\bigr)}
é contínua. O conteúdo aqui é continuidade de funções compostas e quocientes: sabemos que polinômios e funções trigonométricas são contínuos onde estão definidos, e para quocientes só precisamos exigir que o denominador não se anule.
f(x)=\frac{x{5}+x{4}-x{2}+1}{\sec\bigl(x{2}+1\bigr)}
é contínua. O conteúdo aqui é continuidade de funções compostas e quocientes: sabemos que polinômios e funções trigonométricas são contínuos onde estão definidos, e para quocientes só precisamos exigir que o denominador não se anule.
Passo 2
O numerador P(x)=x{5}+x{4}-x^{2}+1 é um polinômio, logo contínuo em todo
. O denominador é
, que é definido sempre que
.
Passo 3
Para garantir a definição de
precisamos resolver
Sabemos que
exatamente quando
Logo
Passo 4
Isolando
obtemos
e portanto
sendo que só faz sentido quando o radicando é não-negativo.
Passo 5
Concluímos que a única causa de descontinuidade é onde
, ou seja nos pontos
. Em todos os outros pontos do eixo real a função é composta por operações contínuas (polinômio, coseno e quociente com denominador não nulo), logo é contínua ali.
Resposta
A função é contínua para todo x real tais que
, ou seja em
x\in\mathbb{R}\setminus\left{\pm\sqrt{\tfrac{(2k+1)\pi}{2}-1};\bigm|;k\in\mathbb{Z},;\tfrac{(2k+1)\pi}{2}-1\ge0\right}.
x\in\mathbb{R}\setminus\left{\pm\sqrt{\tfrac{(2k+1)\pi}{2}-1};\bigm|;k\in\mathbb{Z},;\tfrac{(2k+1)\pi}{2}-1\ge0\right}.