Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
b) 1-14+14^2+ldots+(-1)^n-14^n-1n >= 1

Passo 1

O enunciado pede para estudar a sequência dos somatórios parciais 1 – 1/4 + 1/4² + … + (–1){n–1}/4{n–1}. O conteúdo é soma de série geométrica e vamos usar a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica.

Passo 2

Para ver melhor, definimos S_n como a soma dos n termos: S_n=∑_{k=0}{n-1}(-1)k/4^k. Aqui o primeiro termo é a=1 e a razão é r=–1/4. Como |r|=1/4<1, a série geométrica é convergente.

Passo 3

A fórmula geral para a soma dos n termos de uma PG de razão r ≠1 é:
Sn = a 1 - r^n1 - r

Passo 4

Substituindo a=1 e r=–1/4 na fórmula, temos:
Sn = 1 - ( -tfrac14 )^n1 - ( -tfrac14 ) = 1 - ( -tfrac14 )^n5/4 = 45l(1 - ( -tfrac14 )^nr)

Passo 5

Para encontrar o limite, notamos que (–1/4)^n →0 quando n→∞ porque |–1/4|<1. Logo: lim_{n→∞}S_n = (4/5)(1–0) = 4/5.

Resposta

A sequência converge e o limite é 4/5.

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