Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
b)
b)
Passo 1
O enunciado pede para estudar a sequência dos somatórios parciais 1 – 1/4 + 1/4² + … + (–1){n–1}/4{n–1}. O conteúdo é soma de série geométrica e vamos usar a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica.
Passo 2
Para ver melhor, definimos S_n como a soma dos n termos: S_n=∑_{k=0}{n-1}(-1)k/4^k. Aqui o primeiro termo é a=1 e a razão é r=–1/4. Como |r|=1/4<1, a série geométrica é convergente.
Passo 3
A fórmula geral para a soma dos n termos de uma PG de razão r ≠1 é:
Passo 4
Substituindo a=1 e r=–1/4 na fórmula, temos:
Passo 5
Para encontrar o limite, notamos que (–1/4)^n →0 quando n→∞ porque |–1/4|<1. Logo: lim_{n→∞}S_n = (4/5)(1–0) = 4/5.
Resposta
A sequência converge e o limite é 4/5.