Esboce os conjuntos de nível de f, para os seguintes valores de c
(l) f(x, y, z)=x^2+y^2+z
c=-1,0,1

Passo 1

O enunciado pede para esboçar as superfícies de nível da função f(x,y,z)=x^2+y^2+z para valores fixos de c. O conteúdo é superfícies de nível em R^3, e vamos precisar usar a definição f(x,y,z)=c para obter a equação de cada superfície.

Passo 2

Começamos escrevendo a condição de nível:
x^2 + y^2 + z = c
Daí isolamos z para reconhecer a forma geométrica:
z = c - x^2 - y^2
Essa é a equação de um paraboloide elíptico voltado para baixo (porque os termos em x^2 e y^2 aparecem com sinal negativo), com vértice no ponto (0,0,c).

Passo 3

Para c=-1 temos
z = -1 - x^2 - y^2,
que é um paraboloide com vértice em (0,0,-1).

Passo 4

Para c=0 temos
z = -x^2 - y^2,
vértice em (0,0,0).

Passo 5

Para c=1 temos
z = 1 - x^2 - y^2,
vértice em (0,0,1). Em cada caso, o paraboloide abre para baixo e vai ficando

Resposta

As superfícies de nível são três paraboloides elípticos dados por:
Para c = –1: z = -1 - x^2 - y^2, vértice em (0,0,–1).
Para c = 0: z = - x^2 - y^2, vértice em (0,0,0).
Para c = 1: z = 1 - x^2 - y^2, vértice em (0,0,1).
Todos abrem para baixo e estão deslocados ao longo do eixo z de acordo com o valor de c.

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