Esboce os conjuntos de nível de
, para os seguintes valores de
(h)
(h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar os conjuntos de nível da função $ f(x, y) = \frac{x}{x^{2} + y^{2} + 1} $ para diferentes valores de $ c $. Isso significa que vamos traçar no plano $ xy $ todas as curvas onde a função $ f(x, y) $ é igual a um certo valor $ c $. Para isso, vamos precisar entender o que são conjuntos de nível e como manipulamos a equação da função para encontrar essas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um conjunto de nível. Conjuntos de nível são curvas no plano onde a função assume um valor constante $ c $. Ou seja, estamos resolvendo a equação:
No nosso caso, a função é $ f(x, y) = \frac{x}{x^{2} + y^{2} + 1} $, então temos:
Passo 3
Vamos resolver essa equação para relacionar $ x $ e $ y $. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por $ x^{2} + y^{2} + 1 $ para eliminar o denominador:
Agora, distribui o $ c $ dentro do parênteses:
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para deixar tudo igual a zero, facilitando a análise:
Podemos fatorar o $ c $:
Passo 5
Vamos isolar os termos quadráticos para identificar o tipo de curva que estamos lidando:
Para facilitar, vamos completar o quadrado no termo que envolve $ x $. Primeiro, reorganizamos:
Passo 6
Agora, completamos o quadrado para o termo em $ x $. Primeiro, fatoramos o coeficiente de $ x^{2} $:
Para completar o quadrado, adicionamos e subtraímos
:
Passo 7
Simplificamos a expressão:
Dividimos toda a equação por $ c $ para simplificar:
Passo 8
Agora, isolamos os termos quadráticos:
Passo 9
Observamos que o lado direito da equação deve ser positivo para que a equação represente uma circunferência real. Portanto, $ \frac{1}{4c^{2}} - 1 > 0 $, o que implica que $ |c| < \frac{1}{2} $.
Passo 10
Finalmente, a equação representa uma circunferência com centro em $ \left( \frac{1}{2c}, 0 \right) $ e raio $ \sqrt{ \frac{1}{4c^{2}} - 1 } $, válida para $ |c| < \frac{1}{2} $.
Resposta
Os conjuntos de nível de $ f(x, y) = \frac{x}{x^{2} + y^{2} + 1} $ para $ |c| < \frac{1}{2} $ são circunferências com centro em $ \left( \frac{1}{2c}, 0 \right) $ e raio $ \sqrt{ \frac{1}{4c^{2}} - 1 } $.