Esboce os conjuntos de nível de f, para os seguintes valores de c
(h) f(x, y)=xx^2+y^2+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar os conjuntos de nível da função $ f(x, y) = \frac{x}{x^{2} + y^{2} + 1} $ para diferentes valores de $ c $. Isso significa que vamos traçar no plano $ xy $ todas as curvas onde a função $ f(x, y) $ é igual a um certo valor $ c $. Para isso, vamos precisar entender o que são conjuntos de nível e como manipulamos a equação da função para encontrar essas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um conjunto de nível. Conjuntos de nível são curvas no plano onde a função assume um valor constante $ c $. Ou seja, estamos resolvendo a equação:
c
No nosso caso, a função é $ f(x, y) = \frac{x}{x^{2} + y^{2} + 1} $, então temos:
f(x, y) = c

Passo 3

Vamos resolver essa equação para relacionar $ x $ e $ y $. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por $ x^{2} + y^{2} + 1 $ para eliminar o denominador:
x
Agora, distribui o $ c $ dentro do parênteses:
y

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para deixar tudo igual a zero, facilitando a análise:
c x^2 + c y^2 + c - x = 0
Podemos fatorar o $ c $:
c

Passo 5

Vamos isolar os termos quadráticos para identificar o tipo de curva que estamos lidando:
c x^2 + c y^2 - x + c = 0
Para facilitar, vamos completar o quadrado no termo que envolve $ x $. Primeiro, reorganizamos:
x

Passo 6

Agora, completamos o quadrado para o termo em $ x $. Primeiro, fatoramos o coeficiente de $ x^{2} $:
x
Para completar o quadrado, adicionamos e subtraímos x^2 :
c ( x^2 - 1c x ) + c y^2 + c = 0

Passo 7

Simplificamos a expressão:
c ( x - 12c )^2 + c y^2 + ( c - 14c ) = 0
Dividimos toda a equação por $ c $ para simplificar:
c

Passo 8

Agora, isolamos os termos quadráticos:
( x - 12c )^2 + y^2 = 14c^2 - 1

Passo 9

Observamos que o lado direito da equação deve ser positivo para que a equação represente uma circunferência real. Portanto, $ \frac{1}{4c^{2}} - 1 > 0 $, o que implica que $ |c| < \frac{1}{2} $.

Passo 10

Finalmente, a equação representa uma circunferência com centro em $ \left( \frac{1}{2c}, 0 \right) $ e raio $ \sqrt{ \frac{1}{4c^{2}} - 1 } $, válida para $ |c| < \frac{1}{2} $.

Resposta

Os conjuntos de nível de $ f(x, y) = \frac{x}{x^{2} + y^{2} + 1} $ para $ |c| < \frac{1}{2} $ são circunferências com centro em $ \left( \frac{1}{2c}, 0 \right) $ e raio $ \sqrt{ \frac{1}{4c^{2}} - 1 } $.

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