Determine o volume do sólido gerado quando a região limitada pelas parábolas y^2=x e y=x^2 gira em torno de:
x=-2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume do sólido obtido ao girar em torno da reta vertical x = -2 a região limitada pelas curvas y² = x e y = x². O conteúdo principal é o método das cascas cilíndricas, pois giramos em torno de uma reta paralela ao eixo y e é mais fácil integrar em x.

Passo 2

Primeiro, identificamos as interseções de y² = x e y = x². Substituindo x = y² em y = x² dá y = (y²)² = y⁴, ou seja y⁴ - y = 0, o que leva a y = 0 ou y = 1. Assim as curvas se cruzam em (0,0) e (1,1).
Em seguida, note que a região está entre x = 0 e x = 1, e, para cada x nesse intervalo, y varia de y₁ = x² (curva de baixo) até y₂ = √x (ramo positivo de y² = x).

Passo 3

No método das cascas cilíndricas, cada vertical em x gera uma casca de raio R(x) = distância de x até a reta x = -2, ou seja R(x) = x + 2, e de altura H(x) = y₂ - y₁ = √x - x².
O volume é dado por V = 2π ∫_{x=0}^1 R(x)·H(x) dx. Substituindo,
V = 2pi integral0^1 (x+2)l(raizx - x^2r),dx

Passo 4

Agora expandimos o integrando:
(x+2)(x^1/2 - x^2) = x^3/2 - x^3 + 2x^1/2 - 2x^2

Passo 5

Integramos termo a termo:
integral0^1 x^3/2dx = 25x^5/2, integral0^1 -x^3dx = -14x^4,
integral0^1 2x^1/2dx = 43x^3/2, integral0^1 -2x^2dx = -23x^3

Passo 6

Avaliando de 0 a 1 e somando:
25 - 14 + 43 - 23 = 25 - 14 + 23 = 4960
Multiplicando por 2π, obtemos o volume:
V = 2pi cdot 4960 = 49pi30

Resposta

O volume do sólido gerado é V = 49pi30.

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