Prove que:
sumn=1^+infty 1(2 n-1)(2 n+1)(2 n+3)=112

Passo 1

O exercício pede para mostrar que a soma infinita de termos da forma 1/[(2n-1)(2n+1)(2n+3)] vale 1/12. O conteúdo é séries telescópicas e vamos precisar fazer uma decomposição em frações parciais para obter o cancelamento dos termos.

Passo 2

Para decompor o termo geral, notamos que se subtrairmos as frações 1/[(2n-1)(2n+1)] e 1/[(2n+1)(2n+3)] o numerador resulta em 4:
1(2n-1)(2n+1) - 1(2n+1)(2n+3) = (2n+3)-(2n-1)(2n-1)(2n+1)(2n+3) = 4(2n-1)(2n+1)(2n+3)
Logo,
1(2n-1)(2n+1)(2n+3) = 14l(1(2n-1)(2n+1) - 1(2n+1)(2n+3)r)

Passo 3

Agora escrevemos a soma parcial de n=1 até N usando essa decomposição:
sumn=1^N 1(2n-1)(2n+1)(2n+3) = 14sumn=1^N l(1(2n-1)(2n+1) - 1(2n+1)(2n+3)r)
Ao expandir essa soma, percebe-se que todo termo negativo de um índice n cancela com o termo positivo do índice n+1, caracterizando o efeito telescópico.

Passo 4

Depois do cancelamento telescópico, só sobram o primeiro termo positivo (quando n=1) e o último termo negativo (quando n=N):
sumn=1^N 1(2n-1)(2n+1)(2n+3) = 14l(11cdot3 - 1(2N+1)(2N+3)r)

Passo 5

Por fim, fazemos Ntoinfty. O termo 1/[(2N+1)(2N+3)] tende a zero, e ficamos com
sumn=1^infty 1(2n-1)(2n+1)(2n+3) = 14cdot13 = 112

Resposta

112

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