Prove que:
Passo 1
O exercício pede para mostrar que a soma infinita de termos da forma
vale
. O conteúdo é séries telescópicas e vamos precisar fazer uma decomposição em frações parciais para obter o cancelamento dos termos.
Passo 2
Para decompor o termo geral, notamos que se subtrairmos as frações
e
o numerador resulta em 4:
Logo,
Passo 3
Agora escrevemos a soma parcial de
até
usando essa decomposição:
Ao expandir essa soma, percebe-se que todo termo negativo de um índice
cancela com o termo positivo do índice
, caracterizando o efeito telescópico.
Passo 4
Depois do cancelamento telescópico, só sobram o primeiro termo positivo (quando
) e o último termo negativo (quando
):
Passo 5
Por fim, fazemos
. O termo
tende a zero, e ficamos com