Determine os pontos singulares do seguinte sistema
Prove que o sistema não tem órbitas periódicas. Compare com o caso em que
.
Passo 1
O enunciado apresenta o sistema planar
com
. Precisamos (1) encontrar os pontos singulares, (2) mostrar que não há órbitas periódicas quando
e (3) comparar com o caso
. Os conteúdos usados serão resolução de equilíbrios e o critério de Bendixson–Dulac.
Passo 2
Para pontos singulares exigimos
e
. Da primeira equação vem
Substituindo na segunda:
Logo os pontos singulares são
Passo 3
Vamos usar o critério de Bendixson, calculando a divergência do campo
Temos
Como
não muda de sinal num domínio simplesmente conexo (
), o teorema de Bendixson impede a existência de órbitas periódicas para
.
Passo 4
No caso
que é hamiltoniano com energia
pois perto de
são fechadas, gerando órbitas periódicas típicas do pêndulo sem atrito.
Resposta
Os pontos singulares são
.
Para não existem órbitas periódicas (divergência negativa e critério de Bendixson).
Para o sistema é hamiltoniano e possui família de órbitas periódicas ao redor de
.
Para
Para