Determine os pontos singulares do seguinte sistema
c x^prime=y y^prime=-b sen(x)-a y, a, b>0
Prove que o sistema não tem órbitas periódicas. Compare com o caso em que a=0.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema planar
x' = y, y' = -bsin(x)-a,y,
com a,b>0. Precisamos (1) encontrar os pontos singulares, (2) mostrar que não há órbitas periódicas quando a>0 e (3) comparar com o caso a=0. Os conteúdos usados serão resolução de equilíbrios e o critério de Bendixson–Dulac.

Passo 2

Para pontos singulares exigimos x'=0 e y'=0. Da primeira equação vem
y=0
Substituindo na segunda:
-bsin(x)-acdot0=0Longrightarrowsin(x)=0Longrightarrow x=kpi,;kinZ
Logo os pontos singulares são
l(kpi,0)mid kinZr

Passo 3

Vamos usar o critério de Bendixson, calculando a divergência do campo
F(x,y) = l(y,,-bsin(x)-a,yr)
Temos
divF =partialpartial x(y)+partialpartial y(-bsin(x)-a,y) =0 - a =-a<0em toda R^2
Como divF não muda de sinal num domínio simplesmente conexo ( R^2), o teorema de Bendixson impede a existência de órbitas periódicas para a>0.

Passo 4

No caso
que é hamiltoniano com energia
pois perto de são fechadas, gerando órbitas periódicas típicas do pêndulo sem atrito.

Resposta

Os pontos singulares são (kpi,0)mid kinZ.
Para a>0 não existem órbitas periódicas (divergência negativa e critério de Bendixson).
Para a=0 o sistema é hamiltoniano e possui família de órbitas periódicas ao redor de (0,0).

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