Q 101 Verifique, determinando f^prime(x0), se as funções a seguir são deriváveis em x0.
f(x)=|x|, x0=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x)=|x|
é derivável em x0=0. O conteúdo utilizado será a definição de derivada pelo limite do quociente incremental em torno de x0.

Passo 2

Pela definição de derivada em x0, temos
f'(x0) = limhto0 f(x0+h)-f(x0)h,
desde que esse limite exista de forma única. Para funções com valor absoluto, é comum separar as aproximações pela direita ( h>0) e pela esquerda ( h<0).

Passo 3

Cálculo da derivada lateral pela direita ( hto0^+):
f(0+h)-f(0)h = |h|-0h = hh = 1
Logo,
limhto0^+f(0+h)-f(0)h=1

Passo 4

Cálculo da derivada lateral pela esquerda ( hto0^-):
f(0+h)-f(0)h = |h|-0h = -hh = -1,
pois para h<0 temos |h|=-h. Logo,
limhto0^-f(0+h)-f(0)h=-1

Passo 5

Como os limites laterais não coincidem (um dá 1, o outro dá -1), o limite total
limhto0f(0+h)-f(0)h
não existe. Portanto, a derivada f'(0) não existe e a função não é derivável em x0=0.

Resposta

A função f(x)=|x| não é derivável em x0=0; ou seja, f'(0) não existe.

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