Exercício 14 (D.L.6.21)
Sejam f: E R^2 um campo de vetores e gamma subset E uma órbita periódica de f. Mostre que se gamma é atratora, então a bacia de atração da órbita periódica gamma, dado por
Bf(gamma)=y in E ; Lomega(y)=gamma
é um conjunto aberto que contém gamma. Por isto costuma-se dizer que gamma é um ciclo-limite atrator do campo f.
Use que se gamma é um ciclo limite atrator de f, então existe uma vizinhança de gamma tal que Lomega(y)=gamma para todo y nesta vizinhança.

Passo 1

O enunciado trata de um campo de vetores fcolon EtoR^2 e de sua órbita periódica gamma. Definimos a bacia de atração
Bf(gamma)=yin Emid Lomega(y)=gamma,
onde Lomega(y) é o conjunto-límite omega de y. Queremos mostrar que, se gamma é um ciclo-limite atrator (isto é, atratora), então Bf(gamma) é aberto e contém gamma. Para isso usaremos a definição de atrator e a continuidade do fluxo em relação às condições iniciais.

Passo 2

Por hipótese, como gamma é atratora, existe uma vizinhança aberta Usubset E de gamma tal que, para todo yin U, tem-se
Lomega(y)=gamma
Em outras palavras, Usubset Bf(gamma).

Passo 3

Agora mostremos que Bf(gamma) é aberto em E. Seja yin Bf(gamma). Então Lomega(y)=gamma, e como gamma atrai y, existe t0>0 tal que a evolução varphit0(y) do ponto y entra em U. Pela continuidade do fluxo varphit0 em relação à condição inicial, existe uma vizinhança V de y em E com
varphit0(V)subset U
Para cada zin V, ao tempo t0 a órbita de z também está em U e, daí em diante, permanece sendo atraída por gamma. Logo Lomega(z)=gamma e Vsubset Bf(gamma). Isso prova que todo ponto de Bf(gamma) tem um vizinho contido em Bf(gamma), ou seja, Bf(gamma) é aberto.

Passo 4

Por fim, como U é uma vizinhança aberta de gamma contida em Bf(gamma), segue imediatamente que gammasubset Bf(gamma).

Resposta

A bacia de atração Bf(gamma) é um conjunto aberto em E e contém a órbita periódica gamma.

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