Exercício 14 (D.L.6.21)
Sejam
um campo de vetores e
uma órbita periódica de
. Mostre que se
é atratora, então a bacia de atração da órbita periódica
, dado por
é um conjunto aberto que contém
. Por isto costuma-se dizer que
é um ciclo-limite atrator do campo
.
Use que se
é um ciclo limite atrator de
, então existe uma vizinhança de
tal que
para todo
nesta vizinhança.
Sejam
Use que se
Passo 1
O enunciado trata de um campo de vetores
e de sua órbita periódica
. Definimos a bacia de atração
onde
é o conjunto-límite
de
. Queremos mostrar que, se
é um ciclo-limite atrator (isto é, atratora), então
é aberto e contém
. Para isso usaremos a definição de atrator e a continuidade do fluxo em relação às condições iniciais.
Passo 2
Por hipótese, como
é atratora, existe uma vizinhança aberta
de
tal que, para todo
, tem-se
Em outras palavras,
.
Passo 3
Agora mostremos que
é aberto em
. Seja
. Então
, e como
atrai
, existe
tal que a evolução
do ponto
entra em
. Pela continuidade do fluxo
em relação à condição inicial, existe uma vizinhança
de
em
com
Para cada
, ao tempo
a órbita de
também está em
e, daí em diante, permanece sendo atraída por
. Logo
e
. Isso prova que todo ponto de
tem um vizinho contido em
, ou seja,
é aberto.
Passo 4
Por fim, como
é uma vizinhança aberta de
contida em
, segue imediatamente que
.
Resposta
A bacia de atração
é um conjunto aberto em
e contém a órbita periódica
.