Exercício 17 (D.L.6.29)
Prove a seguinte extensão do Teorema de Bendixson visto em sala de aula, devido a H. Dulac: Se um campo f: E R^2, definido e de classe C^1 no aberto simplesmente conexo E de R^2, e uma função rho: E R de classe C^1 são tais que div(rho f) não troca de sinal em E, então f não tem órbitas periódicas em E. (Sugestão: observe que rho f1 d x2-rho f2 d x1=rho(f1 d x2-f2 d x1)=0 d t numa órbita periódica de f=(f1, f2) e use o Teorema de Green, como na prova do Teorema de Bendixson)

Passo 1

O enunciado diz que temos um campo de vetores
,f=(f1,f2):EtoR^2,
definido e de classe C^1 num aberto simplesmente conexo EsubsetR^2, e uma função de classe C^1
,rho:EtoR tais que
div(rho f) não troca de sinal em E.
Queremos mostrar que f não admite órbitas periódicas em E.
O conteúdo teórico utilizado é o Teorema de Green (ou Teorema de Green–Gauss) aplicado a um campo apropriado construído com rho f.

Passo 2

Suponha, por contradição, que exista uma órbita periódica gammasubset E fechada e simples, de período T. Essa curva gamma é o traço da solução (x(t),y(t)) de
dot x=f1(x,y), dot y=f2(x,y),
com x(t+T)=x(t), y(t+T)=y(t). Em particular, ao longo de gamma temos
dx=f1,dt, dy=f2,dt Longrightarrow f1,dy - f2,dx=0em cada t
Multiplicando por rho, segue que
rhol(f1,dy - f2,dxr)=0 Longrightarrow ointgammarhol(f1,dy - f2,dxr)=0

Passo 3

Definimos as funções
P(x,y)=-rho(x,y),f2(x,y), Q(x,y)=rho(x,y),f1(x,y)
Então
P,dx + Q,dy =-rho f2,dx + rho f1,dy =rhol(f1,dy -f2,dxr),
e portanto
ointgammaP,dx + Q,dy =0
Como gamma é simples e E é simplesmente conexo, gamma é fronteira orientada positivamente de uma região Dsubset E. Pelo Teorema de Green,
ointgammaP,dx + Q,dy =integral duplaDl(partialx Q - partialy Pr),dA
Mas
partialx Q - partialy P =partialx(rho f1) + partialy(rho f2) =div(rho f),
logo
0 =integral duplaDdiv(rho f),dA

Passo 4

Como div(rho f) não troca de sinal em E, ela é de sinal constante (sempre não negativa ou sempre não positiva) em todo D. Portanto
integral duplaDdiv(rho f),dA neq 0
a menos que div(rho f)equiv 0 em D.
  • Se div(rho f) for estritamente de um mesmo sinal, a integral dupla seria estritamente não nula, contra 0.
  • Se div(rho f)equiv0, então rho f é campo incompressível com fator integrante, o que impede órbitas isoladas.
Em ambos os casos obtemos contradição com a hipótese de existir órbita periódica.

Resposta

f não possui órbitas periódicas em E.

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