Exercício 17 (D.L.6.29)
Prove a seguinte extensão do Teorema de Bendixson visto em sala de aula, devido a H. Dulac: Se um campo
, definido e de classe
no aberto simplesmente conexo
de
, e uma função
de classe
são tais que
não troca de sinal em
, então
não tem órbitas periódicas em
. (Sugestão: observe que
numa órbita periódica de
e use o Teorema de Green, como na prova do Teorema de Bendixson)
Prove a seguinte extensão do Teorema de Bendixson visto em sala de aula, devido a H. Dulac: Se um campo
Passo 1
O enunciado diz que temos um campo de vetores
,
definido e de classe num aberto simplesmente conexo
, e uma função de classe
tais que
não troca de sinal em
.
Queremos mostrar que não admite órbitas periódicas em
.
O conteúdo teórico utilizado é o Teorema de Green (ou Teorema de Green–Gauss) aplicado a um campo apropriado construído com .
definido e de classe
Queremos mostrar que
O conteúdo teórico utilizado é o Teorema de Green (ou Teorema de Green–Gauss) aplicado a um campo apropriado construído com
Passo 2
Suponha, por contradição, que exista uma órbita periódica
fechada e simples, de período
. Essa curva
é o traço da solução
de
com
,
. Em particular, ao longo de
temos
Multiplicando por
, segue que
Passo 3
Definimos as funções
Então
e portanto
Como
é simples e
é simplesmente conexo,
é fronteira orientada positivamente de uma região
. Pelo Teorema de Green,
Mas
logo
Passo 4
Como
não troca de sinal em
, ela é de sinal constante (sempre não negativa ou sempre não positiva) em todo
. Portanto
a menos que
em
.
- Se
for estritamente de um mesmo sinal, a integral dupla seria estritamente não nula, contra . - Se
, então é campo incompressível com fator integrante, o que impede órbitas isoladas.
Em ambos os casos obtemos contradição com a hipótese de existir órbita periódica.