Determine os pontos da superficie x y^2 z^3=2 que estão mais próximo da origem.
Resposta: (1raiz[6]3 raiz3, raiz2raiz[6]3 raiz3, raiz3raiz[6]3 raiz3) e (-1raiz[6]3 raiz3,-raiz2raiz[6]3 raiz3,-raiz3raiz[6]3 raiz3)

Passo 1

A superfície dada é x y^2 z^3=2 e queremos achar o(s) ponto(s) dessa superfície que minimizam a distância à origem. Isso é um problema de otimização com restrição, então vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange. Precisamos do gradiente de f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 (função distância ao quadrado) e do gradiente de g(x,y,z)=x y^2 z^3-2 (restrição).

Passo 2

Calculamos os gradientes e montamos as equações de Lagrange:
nabla f=(2x,,2y,,2z), nabla g=(y^2z^3,,2xy z^3,,3xy^2z^2)
Igualando nabla f=lambdanabla g e incluindo g(x,y,z)=0, obtemos:
2x=lambda y^2z^3, 2y=2lambda x y z^3, 2z=3lambda x y^2z^2, x y^2z^3=2

Passo 3

Da segunda equação temos 2y=2lambda x y z^3. Se yneq0, divide por 2y e fica
1=lambda x z^3
logo lambda=1/(x z^3). Substituindo em 2x=lambda y^2z^3
2x=y^2z^3x z^3=y^2x
Logo
y^2=2x^2

Passo 4

Usando a terceira equação 2z=3lambda x y^2z^2 e o mesmo lambda=1/(x z^3) obtemos
2z=3x y^2z^2x z^3=3y^2z
Logo
2z^2=3y^2
Portanto y^2=(2/3)z^2. Combinando com y^2=2x^2 resulta
2x^2=(2/3)z^2
ou seja
z^2=3x^2, y^2=2x^2

Passo 5

Agora usamos a restrição x y^2z^3=2. Substituindo y^2=2x^2 e z^3=(raiz3x)^3=3raiz3,x^3 obtém-se
xcdot(2x^2)cdot(3raiz3,x^3)=6raiz3,x^6=2
Assim
x^6=26raiz3=13raiz3Longrightarrow x=1raiz[6]3raiz3
(escolhendo a raiz sexta positiva para o ponto mais próximo). Como y=pmraiz2,x e z=pmraiz3,x, e para satisfazer x y^2z^3=2>0 precisamos que x e z tenham o mesmo sinal. Tomando ambos positivos ou ambos negativos e escolhendo y com o mesmo sinal de x para simplificar, achamos os dois pontos de mínimo:
(1raiz[6]3 raiz3, raiz2raiz[6]3 raiz3, raiz3raiz[6]3 raiz3) e (-1raiz[6]3 raiz3, -raiz2raiz[6]3 raiz3, -raiz3raiz[6]3 raiz3).

Resposta

(1raiz[6]3 raiz3, raiz2raiz[6]3 raiz3, raiz3raiz[6]3 raiz3) e (-1raiz[6]3 raiz3, -raiz2raiz[6]3 raiz3, -raiz3raiz[6]3 raiz3).

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