Determine os pontos da superficie
que estão mais próximo da origem.
Resposta:
e
Resposta:
Passo 1
A superfície dada é
e queremos achar o(s) ponto(s) dessa superfície que minimizam a distância à origem. Isso é um problema de otimização com restrição, então vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange. Precisamos do gradiente de
(função distância ao quadrado) e do gradiente de
(restrição).
Passo 2
Calculamos os gradientes e montamos as equações de Lagrange:
Igualando
e incluindo
, obtemos:
Passo 3
Da segunda equação temos
. Se
, divide por
e fica
logo
. Substituindo em
dá
Logo
Passo 4
Usando a terceira equação
e o mesmo
obtemos
Logo
Portanto
. Combinando com
resulta
ou seja
Passo 5
Agora usamos a restrição
. Substituindo
e
obtém-se
Assim
(escolhendo a raiz sexta positiva para o ponto mais próximo). Como
e
, e para satisfazer
precisamos que
e
tenham o mesmo sinal. Tomando ambos positivos ou ambos negativos e escolhendo
com o mesmo sinal de
para simplificar, achamos os dois pontos de mínimo:
e
.