Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximos e mínimos da função sujeita à(s) restrição(oes) dadas:
(a) f(x, y)=x^2 y ; x^2+2 y^2=6
(b) f(x, y)=e^x y ; x^3+y^3=16
© f(x, y, z)=2 x+2 y+10 z ; x^2+y^2+z^2=35
(d) f(x, y, z)=x+2 y ; x+y+z=1 ; y^2+z^2=4
Resposta: (a) 2 é o valor máximo e -2 é o valor mínimo; (b) e e é o valor máximo; © 54 raiz352 raiz3 é o valor máximo e -54 raiz352 raiz3 é o valor mínimo; (d) 1+2 raiz2 é o valor máximo e 1-raiz2 é o valor mínimo.

Passo 1

Nesse exercício a gente vai usar o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar extremos condicionados de funções sujeitas a restrições dadas. Precisamos montar a função Lagrangeana e resolver o sistema ∇f=λ∇g (ou ∇f=λ∇g₁+μ∇g₂ quando há duas restrições).

Passo 2

Para o item (a), f(x,y)=x²y com a restrição g(x,y)=x²+2y²−6=0. A Lagrangeana é
L(x,y,λ)=x^2y−λ(x^2+2y^2−6)
As equações críticas são:
∂ L∂x=2xy−2λx=0, ∂ L∂y=x^2−4λy=0, x^2+2y^2=6
Dessas tiramos ou x=0 ou λ=y, e resolvendo com a restrição obtemos os pontos (x,y)=(±√2,±1) sujeitos à combinação correta de sinais. Avaliando f nesses pontos, encontramos f=2 e f=−2.

Passo 3

Para o item (b), f(x,y)=e^{xy} com a restrição g(x,y)=x3+y3−16=0. A Lagrangeana é
L(x,y,λ)=e^xy−λ(x^3+y^3−16)
As equações são
y e^xy=3λx^2, x e^xy=3λy^2, x^3+y^3=16
Dividindo a primeira pela segunda dá y/x=x2/y2 ⇒ y3=x3 ⇒ y=x. Substituindo em x3+y3=16 dá 2x^3=16 ⇒ x=y=2. Avaliando f no ponto crítico: f(2,2)=e^{4}. Como a curva não é fechada, f→0 quando |x|+|y|→∞, logo não há mínimo, apenas máximo localizado em e^{4}.

Passo 4

Para o item ©, f(x,y,z)=2x+2y+10z com a restrição g(x,y,z)=x2+y2+z^2−35=0. Montamos
L(x,y,z,λ)=2x+2y+10z−λ(x^2+y^2+z^2−35)
As condições são
2=2λx, 2=2λy, 10=2λz, x^2+y^2+z^2=35
Da primeira e da segunda vem x=y=1/λ e da terceira z=5/λ. Substituindo na esfera: (1/λ)2+(1/λ)2+(5/λ)^2=35 ⇒ λ^2=27/35. Assim x=y=√(35/27), z=5√(35/27). Avaliando f obtemos máximo f=6√{105} e mínimo f=−6√{105}.

Passo 5

Para o item (d), f(x,y,z)=x+2y com duas restrições g₁=x+y+z−1=0 e g₂=y2+z2−4=0. Fazemos
L(x,y,z,λ,μ)=x+2y−λ(x+y+z−1)−μ(y^2+z^2−4)
As equações são
1=λ, 2=λ+2μy, 0=λ+2μz, x+y+z=1, y^2+z^2=4
Da primeira λ=1. Das outras achamos y=−z e substituímos em y2+z2=4 ⇒ z=±√2, y=∓√2 e x=1−y−z=1. Avaliando f=x+2y dá f(1,−√2,√2)=1−2√2 e f(1,√2,−√2)=1+2√2.

Passo 6

Resposta

(a) máximo f=2 e mínimo f=−2; (b) máximo f=e^{4}, não há mínimo; © máximo f=6\sqrt{105} e mínimo f=−6\sqrt{105}; (d) máximo f=1+2\sqrt{2} e mínimo f=1−2\sqrt{2}.

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