Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximos e mínimos da função sujeita à(s) restrição(oes) dadas:
(a)
(b)
©
(d)
Resposta: (a) 2 é o valor máximo e -2 é o valor mínimo; (b) e e é o valor máximo; ©
é o valor máximo e
é o valor mínimo;
é o valor máximo e
é o valor mínimo.
(a)
(b)
©
(d)
Resposta: (a) 2 é o valor máximo e -2 é o valor mínimo; (b) e e é o valor máximo; ©
Passo 1
Nesse exercício a gente vai usar o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar extremos condicionados de funções sujeitas a restrições dadas. Precisamos montar a função Lagrangeana e resolver o sistema ∇f=λ∇g (ou ∇f=λ∇g₁+μ∇g₂ quando há duas restrições).
Passo 2
Para o item (a), f(x,y)=x²y com a restrição g(x,y)=x²+2y²−6=0. A Lagrangeana é
As equações críticas são:
Dessas tiramos ou x=0 ou λ=y, e resolvendo com a restrição obtemos os pontos (x,y)=(±√2,±1) sujeitos à combinação correta de sinais. Avaliando f nesses pontos, encontramos f=2 e f=−2.
Passo 3
Para o item (b), f(x,y)=e^{xy} com a restrição g(x,y)=x3+y3−16=0. A Lagrangeana é
As equações são
Dividindo a primeira pela segunda dá y/x=x2/y2 ⇒ y3=x3 ⇒ y=x. Substituindo em x3+y3=16 dá 2x^3=16 ⇒ x=y=2. Avaliando f no ponto crítico: f(2,2)=e^{4}. Como a curva não é fechada, f→0 quando |x|+|y|→∞, logo não há mínimo, apenas máximo localizado em e^{4}.
Passo 4
Para o item ©, f(x,y,z)=2x+2y+10z com a restrição g(x,y,z)=x2+y2+z^2−35=0. Montamos
As condições são
Da primeira e da segunda vem x=y=1/λ e da terceira z=5/λ. Substituindo na esfera: (1/λ)2+(1/λ)2+(5/λ)^2=35 ⇒ λ^2=27/35. Assim x=y=√(35/27), z=5√(35/27). Avaliando f obtemos máximo f=6√{105} e mínimo f=−6√{105}.
Passo 5
Para o item (d), f(x,y,z)=x+2y com duas restrições g₁=x+y+z−1=0 e g₂=y2+z2−4=0. Fazemos
As equações são
Da primeira λ=1. Das outras achamos y=−z e substituímos em y2+z2=4 ⇒ z=±√2, y=∓√2 e x=1−y−z=1. Avaliando f=x+2y dá f(1,−√2,√2)=1−2√2 e f(1,√2,−√2)=1+2√2.
Passo 6
Resposta
(a) máximo f=2 e mínimo f=−2; (b) máximo f=e^{4}, não há mínimo; © máximo f=6\sqrt{105} e mínimo f=−6\sqrt{105}; (d) máximo f=1+2\sqrt{2} e mínimo f=1−2\sqrt{2}.