Determine se a squência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(a) 0, 12, 23, 34, 45, 56, 67, cdots
(b) 1, 12, 1, 14, 1, 18, 1, 116, cdots
© an=(4+1n)^1 / 2
(d) an=n^3n^3+1
(e) an=raizn+1-raizn
(f) an=e^2 nn+2
(g) an=3^n+25^n
(h) ln (n)ln (2 n)
(i) an=arctg(n)n
(j) an=ln (n+1)-ln (n)

Passo 1

Este exercício nos pede para analisar dez sequências distintas e verificar se elas convergem ou divergem. Se convergirem, devemos encontrar o limite. Vamos usar propriedades de limites, manipulações algébricas (divisão por termo dominante, racionalização), regras de funções contínuas (raízes, logaritmos, exponenciais e arctan) e estudo de subsequências quando necessário.

Passo 2

Para (a), observe que os termos formam a sequência \
an = n-1n para n>=1. Para achar o limite, dividimos numerador e denominador por n:
n-1n = nn - 1n = 1 - 1n
Como 1n to 0 quando n to infty, temos an to 1.

Passo 3

Na parte (b), a sequência é alternante:
  • Para n=2k-1, a2k-1=1.
  • Para n=2k, a2k=12^k.
    A subsequência ímpar fica sempre em 1, e a par tende a 0. Como os limites das duas subsequências diferem, a sequência não tem limite único e diverge.

Passo 4

No item ©, an = raiz4 + tfrac1n. Como a função raiz é contínua, basta ver que 4 + tfrac1n to 4. Logo,
raiz4 + tfrac1n ;xrightarrow[ntoinfty]; raiz4 = 2

Passo 5

Em (d), an = n^3n^3 + 1. Dividindo numerador e denominador por n^3,
n^3n^3 + 1 = 11 + tfrac1n^3 to 11+0 = 1

Passo 6

Para (e), an = raizn+1 - raizn. Racionalizamos multiplicando por raizn+1 + raizn em cima e embaixo:
raizn+1 - raizn = (n+1)-nraizn+1 + raizn = 1raizn+1 + raizn
Como o denominador cresce sem limite, an to 0.

Passo 7

No caso (f), an = e^tfrac2nn+2. Olhando o expoente:
2nn+2 = 21 + tfrac2n to 2
Pela continuidade da exponencial, an to e^2.

Passo 8

Em (g), an = 3^n+25^n = 3^2 cdot l(tfrac35r)^n = 9l(tfrac35r)^n Como |3/5|<1, o termo geométrico vai a zero, logo an to 0.

Passo 9

Para (h),
an = ln(n)ln(2n) = ln nln n + ln 2 = 11 + tfracln 2ln n
Como tfracln2ln nto0, a fração tende a 1.

Passo 10

No item (i), an = arctan(n)n Sabemos que arctan(n) to pi2 e o denominador vai a +infty. Assim, an to 0.

Passo 11

Finalmente, em (j),
an = ln(n+1) - ln(n) = lnl(1 + tfrac1nr),
que se comporta como tfrac1n para n grande. Logo an to 0.

Resposta

(a) Converge, limite = 1
(b) Diverge (subsequências com limites 1 e 0 distintos)
© Converge, limite = 2
(d) Converge, limite = 1
(e) Converge, limite = 0
(f) Converge, limite = e^2
(g) Converge, limite = 0
(h) Converge, limite = 1
(i) Converge, limite = 0
(j) Converge, limite = 0

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