Calcule os seguintes limites de
para
, quando existirem.
. (Resposta:
Passo 1
Nesse exercício queremos calcular
, onde
O conteúdo é limite de função de duas variáveis, e vamos usar aproximação de primeira ordem (Taylor) para funções compostas.
Passo 2
Primeiro, note que
Para
pequeno vale
. Aqui definimos
. Logo,
e, portanto, o numerador de
fica
Passo 3
Substituindo essa expansão em
temos
O termo
é de ordem superior a
, então ao dividir por
ele tende a zero. Assim o limite coincide com
Passo 4
Basta agora simplificar esse quociente:
Como
, esse quociente vale sempre
para
, o que prova o valor do limite.
Resposta
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