Calcule os seguintes limites de f(x, y) para (x, y) ightharpoonup(0,0), quando existirem.
f(x, y)=raiz(1+2 x)(1+y)-14 x+2 y. (Resposta: 1 / 4)

Passo 1

Nesse exercício queremos calcular lim(x,y)to(0,0) f(x,y), onde
f(x,y)=raiz(1+2x)(1+y)-14x+2y
O conteúdo é limite de função de duas variáveis, e vamos usar aproximação de primeira ordem (Taylor) para funções compostas.

Passo 2

Primeiro, note que
raiz(1+2x)(1+y)=raiz1+(2x+y+2xy)
Para z pequeno vale raiz1+z=1+z2+o(z). Aqui definimos z=2x+y+2xy. Logo,
raiz(1+2x)(1+y)=1+2x+y+2xy2+o(|(x,y)|)
e, portanto, o numerador de f fica
raiz(1+2x)(1+y)-1=x+y2+xy+o(|(x,y)|)

Passo 3

Substituindo essa expansão em f(x,y) temos
f(x,y)=x+tfracy2+xy+o(|(x,y)|)4x+2y
O termo xy+o(|(x,y)|) é de ordem superior a 4x+2y, então ao dividir por 4x+2y ele tende a zero. Assim o limite coincide com
x+tfracy24x+2y

Passo 4

Basta agora simplificar esse quociente:
x+tfracy24x+2y=2x+y2(4x+2y)=2x+y8x+4y
Como 2x+y=tfrac14(8x+4y), esse quociente vale sempre tfrac14 para (x,y)neq(0,0), o que prova o valor do limite.

Resposta

1/4

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