Determine os pontos em que as tangentes são horizontais ao gráfico de
y=x^33-5 x^22+6 x+5

Passo 1

A gente tem a função y=x^33-5x^22+6x+5. O conteúdo que vamos usar é derivação de polinômio (regra de potência) para encontrar onde a reta tangente é horizontal, ou seja, onde a derivada se anula.

Passo 2

Para derivar, aplicamos a regra de potência em cada termo. Derivando x^33 x^2, derivando -5x^22 -5x, e derivando 6x+5 6 e 0. Assim temos:
y'=x^2-5x+6

Passo 3

Tangente horizontal acontece quando y'=0. Resolvendo: x^2-5x+6=0. Fatorando, (x-2)(x-3)=0, então
x=2ou x=3

Passo 4

Agora a gente encontra o valor de y em cada ponto substituindo na função original:
y(2)=2^33-5cdot2^22+6cdot2+5=83-10+12+5=293

Passo 5

y(3)=3^33-5cdot3^22+6cdot3+5=9-452+18+5=192

Resposta

As retas tangentes são horizontais nos pontos (2,293) e (3,192).

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