Mostre que a função h(t)=|t-5| não é derivável em t=5.

Passo 1

Vamos mostrar que a função h(t)=|t−5| não possui derivada em t=5 usando a definição de derivada e os limites laterais.

Passo 2

A derivada de h em t=5, caso existisse, seria dada por:
h'(5)=limDe
Precisamos estudar os limites quando Δt→0⁺ e quando Δt→0⁻.

Passo 3

Para Δt>0 temos 5+Δt>5, então h(5+Δt)=|Δt|=Δt e h(5)=0. Logo o quociente fica:
h(5+De
Tomando o limite Δt→0⁺, o resultado é 1.

Passo 4

Para Δt<0 temos 5+Δt<5, então h(5+Δt)=|Δt|=−Δt e h(5)=0. Assim:
h(5+De
Tomando o limite Δt→0⁻, o resultado é -1.

Passo 5

Como os limites laterais são diferentes (1 à direita e -1 à esquerda), o limite total não existe. Portanto h não é derivável em t=5.

Resposta

A função h(t)=|t−5| não é derivável em t=5 porque os limites laterais da definição de derivada são diferentes (1 e –1).

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