Mostre que a função
não é derivável em
.
Passo 1
Vamos mostrar que a função h(t)=|t−5| não possui derivada em t=5 usando a definição de derivada e os limites laterais.
Passo 2
A derivada de h em t=5, caso existisse, seria dada por:
Precisamos estudar os limites quando Δt→0⁺ e quando Δt→0⁻.
Passo 3
Para Δt>0 temos 5+Δt>5, então h(5+Δt)=|Δt|=Δt e h(5)=0. Logo o quociente fica:
Tomando o limite Δt→0⁺, o resultado é 1.
Passo 4
Para Δt<0 temos 5+Δt<5, então h(5+Δt)=|Δt|=−Δt e h(5)=0. Assim:
Tomando o limite Δt→0⁻, o resultado é -1.
Passo 5
Como os limites laterais são diferentes (1 à direita e -1 à esquerda), o limite total não existe. Portanto h não é derivável em t=5.
Resposta
A função h(t)=|t−5| não é derivável em t=5 porque os limites laterais da definição de derivada são diferentes (1 e –1).