Determine os pontos e os valores extremos da função
f(x, y)=x^{2} y
restrito ao conjunto
A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2} \leq 4 \text { e } y \geq 0\right\}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dada a função f(x,y)=x^{2}y.
  • O domínio de restrição é o conjunto A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2}\le 4 \text{ e } y\ge 0\},ou seja, o semicírculo fechado de raio 2 em cima do eixo x (inclui a borda e a linha y=0).
  • O enunciado pede: determinar os pontos extremos (onde f atinge máximo e mínimo) e os respectivos valores de f em A.

Passo 2

Por que existe máximo e mínimo em A?
  • A função f é polinomial em x,y, logo é contínua em \mathbb{R}^2.
  • O conjunto A é fechado e limitado (é compacto).
  • Teorema importante: uma função contínua em um conjunto compacto atinge seu máximo e seu mínimo nesse conjunto.
    Portanto, f tem pelo menos um máximo e pelo menos um mínimo em A. Agora vamos achar onde eles ocorrem.

Passo 3

Procurar pontos críticos no interior de A (pontos com x^{2}+y^{2}<4 e y>0).
  • Calculo o gradiente de f: \nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right) =\bigl(2xy,\;x^{2}\bigr).
  • Pontos críticos no interior satisfazem \nabla f(x,y)= (0,0). Assim: 2xy=0,\qquad x^{2}=0.
  • Da segunda equação vem x=0. Substituindo na primeira obtemos 0=0, que já está satisfeita.
  • Conclusão: todos os pontos interiores com x=0 são críticos. No interior isso significa os pontos (0,y)\quad\text{com}\quad 0<y<2.
  • Avaliando f nesses pontos: f(0,y)=0.
Então todos esses pontos críticos dão valor 0.

Passo 4

Analisar a borda formada pela reta y=0 (diâmetro).
  • Na borda y=0 com -2\le x\le 2 temos f(x,0)=x^{2}\cdot 0 = 0.
  • Portanto toda a reta-borda y=0 (o diâmetro) produz valor 0.

Passo 5

Analisar a borda curva: o arco da circunferência x^{2}+y^{2}=4 com y\ge 0.
  • Aqui usamos multiplicadores de Lagrange: queremos extremos de f sujeitos à restrição
    g(x,y)=x^{2}+y^{2}-4=0.
  • As equações de Lagrange são \nabla f=\lambda\nabla g, ou seja:
    2xy = \lambda\cdot 2x,\qquad x^{2} = \lambda\cdot 2y.
  • Fazemos análise de casos:
    Caso 1: x=0 sobre a circunferência. Então x=0 e x^{2}+y^{2}=4 dão y^{2}=4 e com y\ge0 temos y=2. O ponto é (0,2) e
    f(0,2)=0.
    Caso 2: x\neq 0. Então podemos dividir a primeira equação por 2x e obter
    y=\lambda.
    Substituindo \lambda=y na segunda equação obtemos
    x^{2}=2y\lambda = 2y^{2}.
    Assim
    x^{2}=2y^{2}\quad\Rightarrow\quad y^{2}=\frac{x^{2}}{2}.
    Como y\ge 0, temos y=\frac{|x|}{\sqrt{2}}.
    Usando a restrição da circunferência x^{2}+y^{2}=4 e substituindo y^{2}=\dfrac{x^{2}}{2}:
    x^{2}+\frac{x^{2}}{2}=\frac{3}{2}x^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=\frac{8}{3}.
    Portanto
    x=\pm\sqrt{\tfrac{8}{3}}=\pm\frac{2\sqrt{6}}{3},\qquad y=\frac{|x|}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}.
    Logo obtemos dois pontos críticos na curva:
    \Bigl(\pm\frac{2\sqrt{6}}{3},\;\frac{2\sqrt{3}}{3}\Bigr).
    Avaliando f nesses pontos:
    f\Bigl(\pm\frac{2\sqrt{6}}{3},\;\frac{2\sqrt{3}}{3}\Bigr) =\left(\frac{8}{3}\right)\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right) =\frac{16\sqrt{3}}{9}.

Passo 6

Reunir todos os candidatos e comparar valores.
  • Candidatos encontrados e seus valores:
    • Interior e parte da borda y=0: pontos com x=0 e 0\le y\le 2 dão f=0.
    • Bordo y=0 para -2\le x\le 2: dão f=0.
    • Ponto na circunferência (0,2): f=0.
    • Pontos \Bigl(\pm\frac{2\sqrt{6}}{3},\frac{2\sqrt{3}}{3}\Bigr): f=\dfrac{16\sqrt{3}}{9} (valor positivo).
  • Observação: para todo (x,y)\in A tem-se f(x,y)=x^{2}y\ge 0 porque x^{2}\ge 0 e y\ge 0. Logo 0 é de fato o valor mínimo possível.
  • Comparando, o maior valor encontrado é \dfrac{16\sqrt{3}}{9} nos dois pontos acima; o menor valor é 0, obtido em muitos pontos (vimos vários).

Passo 7

Conclusão clara sobre máximos e mínimos.
  • Valor mínimo global: 0. Conjunto de pontos onde é atingido:
    \{(x,y)\in A:\;x=0\\ \text{(com }0\le y\le 2)\}\\ \cup\\ \{(x,0):\\\ -2\le x\le 2\}.
    (equivalentemente, todos os pontos de A com x=0 ou y=0.)
  • Valor máximo global: \dfrac{16\sqrt{3}}{9} atingido exatamente nos dois pontos
    \Bigl(\frac{2\sqrt{6}}{3},\;\frac{2\sqrt{3}}{3}\Bigr) \quad\text{e}\quad \Bigl(-\frac{2\sqrt{6}}{3},\;\frac{2\sqrt{3}}{3}\Bigr).

Resposta

Máximo: valor \dfrac{16\sqrt{3}}{9} nos pontos \Bigl(\pm\frac{2\sqrt{6}}{3},\;\frac{2\sqrt{3}}{3}\Bigr)
Mínimo: valor 0 atingido em todos os pontos de A com x=0 ou y=0 (isto é, \{(x,y)\in A: x=0\}\cup\{(x,0):-2\le x\le2\}).

Exercícios relacionados