Determine os pontos e os valores extremos da função
restrito ao conjunto
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
- Dada a função
. - O domínio de restrição é o conjunto
ou seja, o semicírculo fechado de raio em cima do eixo (inclui a borda e a linha ). - O enunciado pede: determinar os pontos extremos (onde
atinge máximo e mínimo) e os respectivos valores de em .
Passo 2
Por que existe máximo e mínimo em
?
- A função
é polinomial em , logo é contínua em . - O conjunto
é fechado e limitado (é compacto). - Teorema importante: uma função contínua em um conjunto compacto atinge seu máximo e seu mínimo nesse conjunto.
Portanto,tem pelo menos um máximo e pelo menos um mínimo em . Agora vamos achar onde eles ocorrem.
Passo 3
Procurar pontos críticos no interior de
(pontos com
e
).
- Calculo o gradiente de
: - Pontos críticos no interior satisfazem
. Assim: - Da segunda equação vem
. Substituindo na primeira obtemos , que já está satisfeita. - Conclusão: todos os pontos interiores com
são críticos. No interior isso significa os pontos - Avaliando
nesses pontos:
Então todos esses pontos críticos dão valor
.
Passo 4
Analisar a borda formada pela reta
(diâmetro).
- Na borda
com temos - Portanto toda a reta-borda
(o diâmetro) produz valor .
Passo 5
Analisar a borda curva: o arco da circunferência
com
.
-
Aqui usamos multiplicadores de Lagrange: queremos extremos de
sujeitos à restrição -
As equações de Lagrange são
, ou seja: -
Fazemos análise de casos:Caso 1:
sobre a circunferência. Então e dão e com temos . O ponto é e Caso 2:. Então podemos dividir a primeira equação por e obter Substituindona segunda equação obtemos AssimComo, temos . Usando a restrição da circunferênciae substituindo : PortantoLogo obtemos dois pontos críticos na curva:Avaliandonesses pontos:
Passo 6
Reunir todos os candidatos e comparar valores.
- Candidatos encontrados e seus valores:
- Interior e parte da borda
: pontos com e dão . - Bordo
para : dão . - Ponto na circunferência
: . - Pontos
: (valor positivo).
- Interior e parte da borda
- Observação: para todo
tem-se porque e . Logo é de fato o valor mínimo possível. - Comparando, o maior valor encontrado é
nos dois pontos acima; o menor valor é , obtido em muitos pontos (vimos vários).
Passo 7
Conclusão clara sobre máximos e mínimos.
-
Valor mínimo global:
. Conjunto de pontos onde é atingido: (equivalentemente, todos os pontos decom ou .) -
Valor máximo global:
atingido exatamente nos dois pontos
Resposta
Máximo: valor
nos pontos
Mínimo: valor
atingido em todos os pontos de
com
ou
(isto é,
).