Justifique se o limite existe ou não. Em caso de existir, calcule o limite.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,1)} \frac{5 x^{2}(y-1)^{2}}{x^{4}+(y-1)^{4}}

Passo 1

Então, a gente tem que descobrir se esse limite existe quando (x, y) se aproxima de (0, 1) para essa função:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,1)} \frac{5 x^{2}(y-1)^{2}}{x^{4}+(y-1)^{4}}
Esse é um problema de limites em funções de duas variáveis, e para resolver a gente vai precisar verificar se o limite dá o mesmo valor independente do caminho que a gente escolher para se aproximar de (0, 1).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para existir o limite em duas variáveis, o valor do limite deve ser o mesmo quando a gente se aproxima do ponto por qualquer caminho. Então, vamos testar alguns caminhos diferentes para ver se obtemos o mesmo resultado.

Passo 3

Vamos começar pelo caminho mais simples: manter y = 1 e deixar x se aproximar de 0.
Substituindo y = 1 na função:
\frac{5 x^{2}(1-1)^{2}}{x^{4}+(1-1)^{4}} = \frac{5 x^{2} \cdot 0}{x^{4} + 0} = 0
Então, ao se aproximar por y = 1, o limite é 0.

Passo 4

Agora, vamos tentar um caminho diferente. Vamos definir y - 1 = kx, onde k é uma constante, e deixar x se aproximar de 0.
Substituindo y - 1 = kx na função:
\frac{5 x^{2}(kx)^{2}}{x^{4} + (kx)^{4}} = \frac{5 x^{2} k^{2} x^{2}}{x^{4} + k^{4} x^{4}} = \frac{5 k^{2} x^{4}}{x^{4}(1 + k^{4})}
Simplificando:
\frac{5 k^{2}}{1 + k^{4}}
Perceba que esse resultado depende do valor de k. Isso significa que diferentes caminhos (valores de k) dão resultados diferentes.

Passo 5

Como encontramos que o limite depende do caminho escolhido (valor de k), concluímos que o limite não existe de forma geral.

Resposta

O limite não existe.

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