Justifique se o limite existe ou não. Em caso de existir, calcule o limite.
Passo 1
Então, a gente tem que descobrir se esse limite existe quando
se aproxima de
para essa função:
Esse é um problema de limites em funções de duas variáveis, e para resolver a gente vai precisar verificar se o limite dá o mesmo valor independente do caminho que a gente escolher para se aproximar de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para existir o limite em duas variáveis, o valor do limite deve ser o mesmo quando a gente se aproxima do ponto por qualquer caminho. Então, vamos testar alguns caminhos diferentes para ver se obtemos o mesmo resultado.
Passo 3
Vamos começar pelo caminho mais simples: manter
e deixar
se aproximar de 0.
Substituindo
na função:
Então, ao se aproximar por
, o limite é 0.
Passo 4
Agora, vamos tentar um caminho diferente. Vamos definir
, onde
é uma constante, e deixar
se aproximar de 0.
Substituindo
na função:
Simplificando:
Perceba que esse resultado depende do valor de
. Isso significa que diferentes caminhos (valores de
) dão resultados diferentes.
Passo 5
Como encontramos que o limite depende do caminho escolhido (valor de
), concluímos que o limite não existe de forma geral.
Resposta
O limite não existe.